En matemáticas , la fórmula de Hadjicostas es una fórmula que relaciona una cierta integral doble con los valores de la función Gamma y la función zeta de Riemann . Lleva el nombre de Petros Hadjicostas.
Declaración
Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re ( s )> −2. Luego
Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann .
Fondo
La primera instancia de la fórmula fue probada y utilizada por Frits Beukers en su artículo de 1978 dando una prueba alternativa del teorema de Apéry . [1] Demostró la fórmula cuando s = 0, y demostró una formulación equivalente para el caso s = 1. Esto llevó a Petros Hadjicostas a conjeturar la fórmula anterior en 2004, [2] y en una semana Robin Chapman la había probado . [3] Demostró que la fórmula se cumple cuando Re ( s )> -1, y luego extendió el resultado mediante la continuación analítica para obtener el resultado completo.
Casos especiales
Además de los dos casos utilizados por Beukers para obtener expresiones alternativas para ζ (2) y ζ (3), la fórmula se puede utilizar para expresar la constante de Euler-Mascheroni como una integral doble haciendo que s tienda a −1:
Esta última fórmula fue descubierta por primera vez por Jonathan Sondow [4] y es la que se menciona en el título del artículo de Hadjicostas.
Notas
- ^ Beukers, F. (1979). "Una nota sobre la irracionalidad de ζ (2) y ζ (3)". Toro. London Math. Soc . 11 (3): 268-272. doi : 10.1112 / blms / 11.3.268 .
- ^ Hadjicostas, P. (2004). "Una conjetura-generalización de la fórmula de Sondow". arXiv : matemáticas.NT / 0405423 .
- ^ Chapman, R. (2004). "Una prueba de la conjetura de Hadjicostas". arXiv : matemáticas / 0405478 .
- ^ Sondow, J. (2003). "Criterios de irracionalidad de la constante de Euler" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 131 : 3335–3344. doi : 10.1090 / S0002-9939-03-07081-3 .
Ver también
- Hessami Pilehrood, Kh .; Hessami Pilehrood, T. (2008). "Serie tipo Vacca para valores de la función constante de Euler generalizada y su derivada". arXiv : 0808.0410 .
- Sondow, J (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4 / π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". American Mathematical Monthly . 112 : 61–65. arXiv : matemáticas.CA / 0211148 . doi : 10.2307 / 30037385 .
- Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). "La función constante de Euler generalizada γ (z) y una generalización de la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 332 : 292–314. arXiv : matemáticas / 0610499 . doi : 10.1016 / j.jmaa.2006.09.081 .