En matemáticas , el teorema de Apéry es un resultado en la teoría de números que establece que la constante de Apéry ζ (3) es irracional . Es decir, el numero
no puede ser escrito como una fracción p / q , donde p y q son números enteros . El teorema lleva el nombre de Roger Apéry .
Los valores especiales de la función zeta de Riemann en números enteros pares 2 n ( n > 0) se pueden mostrar en términos de números de Bernoulli como irracionales, mientras que permanece abierto si los valores de la función son en general racionales o no en los números enteros impares 2 n + 1 ( n > 1) (aunque se supone que son irracionales).
Historia
Euler demostró que si n es un número entero positivo, entonces
para algún número racional p / q . Específicamente, escribiendo la serie infinita a la izquierda como ζ (2 n ) mostró
donde B n son los números racionales de Bernoulli . Una vez que se demostró que π n es siempre irracional, se demostró que ζ (2 n ) es irracional para todos los enteros positivos n .
No se conoce tal representación en términos de π para las llamadas constantes zeta para argumentos impares, los valores ζ (2 n + 1) para enteros positivos n . Se ha conjeturado que las proporciones de estas cantidades
son trascendentales para todo número entero n ≥ 1. [1]
Debido a esto, no se pudo encontrar ninguna prueba que demuestre que las constantes zeta con argumentos extraños fueran irracionales, a pesar de que se creía (y todavía lo son) todas trascendentales. Sin embargo, en junio de 1978, Roger Apéry dio una charla titulada "Sur l'irrationalité de ζ (3)". Durante el transcurso de la charla, esbozó pruebas de que ζ (3) y ζ (2) eran irracionales, el último utilizando métodos simplificados de los utilizados para abordar el primero en lugar de confiar en la expresión en términos de π. Debido a la naturaleza totalmente inesperada de la prueba y al enfoque indiferente y muy superficial de Apéry sobre el tema, muchos de los matemáticos en la audiencia descartaron la prueba como defectuosa. Sin embargo, Henri Cohen , Hendrik Lenstra y Alfred van der Poorten sospecharon que Apéry estaba en algo y se dispusieron a confirmar su prueba. Dos meses más tarde terminaron la verificación de la prueba de Apéry, y el 18 de agosto Cohen pronunció una conferencia en la que dio todos los detalles de la prueba. Después de la conferencia, el propio Apéry subió al podio para explicar el origen de algunas de sus ideas. [2]
Prueba de Apéry
Prueba original de Apéry [3] [4] se basó en el criterio de la irracionalidad conocida de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que establece que una ξ número es irracional si hay infinitamente muchos coprimas enteros p y q tal que
para alguna c fija , δ> 0.
El punto de partida para Apéry fue la representación en serie de ζ (3) como
En términos generales, Apéry luego definió una secuencia c n , k que converge a ζ (3) aproximadamente tan rápido como la serie anterior, específicamente
Luego definió dos secuencias más a n y b n que, aproximadamente, tienen el cociente c n , k . Estas secuencias fueron
y
La secuencia a n / b n converge a ζ (3) lo suficientemente rápido para aplicar el criterio, pero desafortunadamente a n no es un número entero después de n = 2. Sin embargo, Apéry demostró que incluso después de multiplicar a n y b n por un número entero adecuado para curar este problema, la convergencia fue lo suficientemente rápida como para garantizar la irracionalidad.
Pruebas posteriores
Dentro de un año del resultado de Apéry, Frits Beukers encontró una prueba alternativa , [5] quien reemplazó la serie de Apéry con integrales que involucran los polinomios de Legendre desplazados. . Usando una representación que luego se generalizaría a la fórmula de Hadjicostas , Beukers demostró que
para algunos números enteros A n y B n (secuencias OEIS : A171484 y OEIS : A171485 ). Usando la integración parcial y el supuesto de que ζ (3) era racional e igual a a / b , Beukers finalmente derivó la desigualdad
lo cual es una contradicción ya que la expresión más a la derecha tiende a cero y, por lo tanto, eventualmente debe caer por debajo de 1 / b .
Una prueba más reciente de Wadim Zudilin recuerda más a la prueba original de Apéry, [6] y también tiene similitudes con una cuarta prueba de Yuri Nesterenko . [7] Estas últimas demostraciones de nuevo derivan una contradicción del supuesto de que ζ (3) es racional al construir secuencias que tienden a cero pero están limitadas por debajo por alguna constante positiva. Son algo menos transparentes que las pruebas anteriores, ya que se basan en series hipergeométricas .
Constantes zeta más altas
Apéry y Beukers también pudieron simplificar sus pruebas para trabajar en ζ (2) gracias a la representación en serie
Debido al éxito del método de Apéry, se realizó una búsqueda de un número ξ 5 con la propiedad que
Si se encontrara tal ξ 5, se esperaría que los métodos usados para probar el teorema de Apéry funcionen en una prueba de que ζ (5) es irracional. Desafortunadamente, la búsqueda extensa por computadora [8] no ha logrado encontrar tal constante, y de hecho ahora se sabe que si ξ 5 existe y si es un número algebraico de grado como máximo 25, entonces los coeficientes en su polinomio mínimo deben ser enorme, al menos 10 383 , por lo que no parece probable que funcione la ampliación de la prueba de Apéry para que funcione en las constantes zeta impares superiores.
A pesar de esto, muchos matemáticos que trabajan en esta área esperan un gran avance pronto. [ cuando? ] [9] De hecho, un trabajo reciente de Wadim Zudilin y Tanguy Rivoal ha demostrado que infinitamente muchos de los números ζ (2 n + 1) deben ser irracionales, [10] e incluso que al menos uno de los números ζ (5), ζ (7), ζ (9) y ζ (11) deben ser irracionales. [11] Su trabajo usa formas lineales en los valores de la función zeta y las estima para acotar la dimensión de un espacio vectorial abarcado por valores de la función zeta en números enteros impares. Las esperanzas de que Zudilin pudiera reducir su lista a un solo número no se materializaron, pero el trabajo sobre este problema sigue siendo un área activa de investigación. Las constantes zeta superiores tienen aplicación a la física: describen funciones de correlación en cadenas de espín cuántico . [12]
Referencias
- ^ Kohnen, Winfried (1989). "Conjeturas de trascendencia sobre períodos de formas modulares y estructuras racionales en espacios de formas modulares". Proc. Indian Acad. Sci. Matemáticas. Sci . 99 (3): 231–233. doi : 10.1007 / BF02864395 .
- ^ A. van der Poorten (1979). "Una prueba de que Euler se perdió ..." (PDF) . El inteligente matemático . 1 (4): 195-203. doi : 10.1007 / BF03028234 .
- ^ Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ (2) et ζ (3)" . Astérisque . 61 : 11-13.
- ^ Apéry, R. (1981), "Interpolation de fracciones continúa et irrationalité de certaines constantes", Bulletin de la section des sciences du CTHS III , págs. 37–53
- ^ F. Beukers (1979). "Una nota sobre la irracionalidad de ζ (2) y ζ (3)". Boletín de la London Mathematical Society . 11 (3): 268-272. doi : 10.1112 / blms / 11.3.268 .
- ^ Zudilin, W. (2002). "Una prueba elemental del teorema de Apéry". arXiv : matemáticas / 0202159 . Bibcode : 2002math ...... 2159Z . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Ю. В. Нестеренко (1996).Некоторые замечания о ζ (3). Матем. Заметки (en ruso). 59 (6): 865–880. doi : 10.4213 / mzm1785 . Traducción en inglés: Yu. V. Nesterenko (1996). "Algunas observaciones sobre ζ (3)". Matemáticas. Notas . 59 (6): 625–636. doi : 10.1007 / BF02307212 .
- ^ DH Bailey, J. Borwein, N. Calkin, R. Girgensohn, R. Luke y V. Moll, Experimental Mathematics in Action , 2007.
- ^ Jorn Steuding (2005). Análisis diofantino . Matemáticas discretas y sus aplicaciones. Boca Ratón: Chapman & Hall / CRC. pag. 280. ISBN 978-1-58488-482-8.
- ^ Rivoal, T. (2000). "La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I . 331 : 267–270. arXiv : matemáticas / 0008051 . Código Bibliográfico : 2000CRASM.331..267R . doi : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 .
- ^ W. Zudilin (2001). "Uno de los números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) es irracional". Russ. Matemáticas. Surv . 56 (4): 774–776. Código Bibliográfico : 2001RuMaS..56..774Z . doi : 10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427 .
- ^ HE Boos; VE Korepin; Y. Nishiyama; M. Shiroishi (2002). "Correlaciones cuánticas y teoría de números". Journal of Physics A . 35 (20): 4443–4452. arXiv : cond-mat / 0202346 . Código Bibliográfico : 2002JPhA ... 35.4443B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 35/20/305 .
enlaces externos
- Huylebrouck, Dirk (2001). "Similitudes en las pruebas de irracionalidad para π, ln2, ζ (2) y ζ (3)" (PDF) . Amer. Matemáticas. Mensual . 108 (3): 222-231. doi : 10.2307 / 2695383 . JSTOR 2695383 .