Politopo de Hanner
En geometría, un politopo de Hanner es un politopo convexo construido recursivamente por producto cartesiano y operaciones polares duales . Los politopos de Hanner llevan el nombre de Olof Hanner , quien los introdujo en 1956. [1]
Son exactamente los politopos que se pueden construir usando solo estas reglas: es decir, cada politopo de Hanner se puede formar a partir de segmentos de línea mediante una secuencia de producto y operaciones duales. [2]
Alternativamente y de manera equivalente a la operación dual polar, los politopos de Hanner pueden construirse mediante productos cartesianos y sumas directas , el dual de los productos cartesianos. Esta operación de suma directa combina dos politopos colocándolos en dos subespacios linealmente independientes de un espacio más grande y luego construyendo el casco convexo de su unión. [3] [4]
Un cubo es un politopo de Hanner y se puede construir como un producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su dual, el octaedro , es también un politopo de Hanner, la suma directa de tres segmentos de línea. En tres dimensiones, todos los politopos de Hanner son combinatoriamente equivalentes a uno de estos dos tipos de politopos. [5] En dimensiones superiores, los hipercubos y los politopos cruzados , análogos del cubo y el octaedro, son nuevamente politopos de Hanner. Sin embargo, son posibles más ejemplos. Por ejemplo, el prisma octaédrico , un prisma de cuatro dimensiones con un octaedro como base, también es un politopo de Hanner, al igual que su dual, la bipirámide cúbica.
A cada politopo de Hanner se le pueden dar coordenadas de vértice que son 0, 1 o −1. [6] Más explícitamente, si P y Q son politopos de Hanner con coordenadas de esta forma, entonces las coordenadas de los vértices del producto cartesiano de P y Q se forman concatenando las coordenadas de un vértice en P con las coordenadas de un vértice en q _ Las coordenadas de los vértices de la suma directa de P y Q se forman concatenando las coordenadas de un vértice en P con un vector de ceros, o concatenando un vector de ceros con las coordenadas de un vértice en Q.
Debido a que el dual polar de un politopo de Hanner es otro politopo de Hanner, los politopos de Hanner tienen la propiedad de que tanto ellos como sus duales tienen coordenadas en {0,1,−1}. [6]
