La suma directa es una operación del álgebra abstracta , una rama de las matemáticas . Por ejemplo, la suma directa, dónde es el espacio de coordenadas real , es el plano cartesiano ,. Para ver cómo se usa la suma directa en álgebra abstracta, considere una estructura más elemental en álgebra abstracta, el grupo abeliano . La suma directa de dos grupos abelianos y es otro grupo abeliano que consta de los pares ordenados dónde y . (De manera confusa, este par ordenado también se llama el producto cartesiano de los dos grupos). Para agregar pares ordenados, definimos la suma ser - estar ; en otras palabras, la suma se define por coordenadas. Se puede utilizar un proceso similar para formar la suma directa de dos espacios vectoriales o dos módulos .
También podemos formar sumas directas con cualquier número finito de sumandos, por ejemplo , previsto y son los mismos tipos de estructuras algebraicas (por ejemplo, todos los grupos abelianos o todos los espacios vectoriales). Esto se basa en el hecho de que la suma directa es asociativa hasta el isomorfismo . Es decir, para cualquier estructura algebraica , , y del mismo tipo. La suma directa también es conmutativa hasta el isomorfismo, es decir para cualquier estructura algebraica y del mismo tipo.
En el caso de dos sumandos, o cualquier número finito de sumandos, la suma directa es la misma que el producto directo . Si la operación aritmética se escribe como +, como suele ocurrir en los grupos abelianos, usamos la suma directa. Si la operación aritmética se escribe como × o ⋅ o usando yuxtaposición (como en la expresión) utilizamos producto directo.
En el caso de que se combinen infinitos objetos, la mayoría de los autores distinguen entre suma directa y producto directo. Como ejemplo, considere la suma directa y el producto directo de un número infinito de líneas reales. Un elemento en el producto directo es una secuencia infinita, como (1, 2, 3, ...) pero en la suma directa, habría un requisito de que todas las coordenadas menos finitas sean cero, por lo que la secuencia (1, 2,3, ...) sería un elemento del producto directo pero no de la suma directa, mientras que (1,2,0,0,0, ...) sería un elemento de ambos. De manera más general, si se usa un signo +, todas las coordenadas menos un número finito deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas menos un número finito deben ser 1. En un lenguaje más técnico, si los sumandos son, la suma directa se define como el conjunto de tuplas con tal que para todos, pero para un número finito i . La suma directaestá contenido en el producto directo , pero suele ser estrictamente más pequeño cuando el índice se establece es infinito, porque los productos directos no tienen la restricción de que todas, excepto un número finito de coordenadas, deben ser cero. [1]
Ejemplos de
El xy un plano, una de dos dimensiones del espacio de vector , se puede considerar como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, a saber, la x y Y ejes. De esta suma directa, el X y Y ejes se cruzan solamente en el origen (el vector cero). La suma se define por coordenadas, es decir, que es lo mismo que la suma de vectores.
Dadas dos estructuras y , su suma directa se escribe como . Dada una familia indexada de estructuras, indexado con , la suma directa puede escribirse . Cada una i se llama un sumando directo de una . Si el conjunto de índices es finito, la suma directa es la misma que el producto directo. En el caso de grupos, si la operación de grupo se escribe como se utiliza la frase "suma directa", mientras que si la operación de grupo está escrita se utiliza la frase "producto directo". Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es lo mismo que el producto directo, ya que la suma directa tiene el requisito adicional de que todas las coordenadas, excepto un número finito, deben ser cero.
Sumas directas internas y externas
Se hace una distinción entre sumas directas internas y externas, aunque las dos son isomórficas. Si los factores se definen primero y luego la suma directa se define en términos de los factores, tenemos una suma directa externa. Por ejemplo, si definimos los números reales y luego definir se dice que la suma directa es externa.
Si, por otro lado, primero definimos alguna estructura algebraica y luego escribe como suma directa de dos subestructuras y , entonces se dice que la suma directa es interna. En este caso, cada elemento de es expresable únicamente como una combinación algebraica de un elemento de y un elemento de . Para un ejemplo de una suma directa interna, considere (los enteros módulo seis), cuyos elementos son . Esto se puede expresar como una suma directa interna.
Tipos de suma directa
Suma directa de grupos abelianos
La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de suma directa. Dados dos grupos abelianos y , su suma directa es el mismo que su producto directo . Es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano y la operación grupal se define por componentes:
- .
Esta definición se generaliza a sumas directas de un número finito de grupos abelianos.
Para una familia infinita de grupos abelianos A i para i ∈ I , la suma directa
es un subgrupo adecuado del producto directo. Consiste en los elementostal que a i es el elemento de identidad de A i para todos menos para un número finito de i . [2]
Suma directa de módulos
La suma directa de módulos es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo.
Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales , que son módulos sobre un campo . La construcción también puede extenderse a espacios Banach y espacios Hilbert .
Suma directa de representaciones grupales
La suma directa de representaciones de grupo generaliza la suma directa de los módulos subyacentes , añadiéndole una acción de grupo . Específicamente, dado un grupo G y dos representaciones V y W de G (o, más generalmente, dos módulos G ), la suma directa de las representaciones es V ⊕ W con la acción de g ∈ G dada por componentes, es decir
- g · ( v , w ) = ( g · v , g · w ).
Otra forma equivalente de definir la suma directa es la siguiente:
Dadas dos representaciones y el espacio vectorial de la suma directa es y el homomorfismo es dado por , dónde es el mapa natural obtenido por acción coordinada como arriba.
Además, si son de dimensión finita, entonces, dada una base de , y tienen valores matriciales. En este caso, se da como
Además, si tratamos y como módulos sobre el anillo de grupo , dónde es el campo, entonces la suma directa de las representaciones y es igual a su suma directa como módulos.
Suma directa de anillos
Algunos autores hablarán de la suma directa de dos anillos cuando se refieren al producto directo , pero esto debe evitarse [3] ya queno recibe homomorfismos de anillo natural de R y S : en particular, el mapaenviar r a ( r , 0) no es un homomorfismo de anillo ya que no envía 1 a (1,1) (asumiendo que 0 ≠ 1 en S ). Por lo tantono es un coproducto en la categoría de anillos , y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensorial de los anillos . [4] En la categoría de anillos, el coproducto está dado por una construcción similar al producto libre de grupos).
El uso de notación y terminología de suma directa es especialmente problemático cuando se trata de familias infinitas de anillos: si es una colección infinita de anillos no triviales, entonces la suma directa de los grupos aditivos subyacentes puede equiparse con una multiplicación por términos, pero esto produce un rng , es decir, un anillo sin una identidad multiplicativa.
Suma directa en categorías
Una categoría aditiva es una abstracción de las propiedades de la categoría de módulos. [5] [6] En tal categoría concuerdan los productos finitos y los coproductos y la suma directa es cualquiera de ellos, cf. biproducto .
Caso general: [7] En la teoría de categorías, la suma directa es a menudo, pero no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es un coproducto. Esto también es cierto en la categoría de módulos.
Homomorfismos
[ aclaración necesaria ]
La suma directa viene equipado con un homomorfismo de proyección para cada j en I y una coproyección para cada j en I . [8] Dada otra estructura algebraica (con la misma estructura adicional) y homomorfismos por cada j en I , hay un homomorfismo único, llamado la suma de la g j , tal quepara todos j . Por tanto, la suma directa es el coproducto en la categoría apropiada .
Ver también
- Suma directa de grupos
- Suma directa de permutaciones
- Suma directa de grupos topológicos
- Producto restringido
- Suma de Whitney
Notas
- ^ Thomas W. Hungerford , Álgebra , p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
- ^ Joseph J. Rotman, La teoría de grupos: una introducción , p. 177, Allyn y Bacon, 1965
- ^ Math StackExchange sobre suma directa de anillos frente al producto directo de anillos.
- ^ Lang 2002 , sección I.11
- ^ "p.45"
- ^ "Apéndice" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2006 . Consultado el 14 de enero de 2014 .
- ^ Suma directa en nLab
- ^ Heunen, Chris (2009). Modelos y lógicas cuánticas categóricas . Pallas Proefschriften. Prensa de la Universidad de Amsterdam. pag. 26. ISBN 978-9085550242.
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001