Conjeturas de la función zeta de Hardy-Littlewood

En matemáticas, las conjeturas de la función zeta de Hardy-Littlewood , que llevan el nombre de Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood , son dos conjeturas relativas a las distancias entre ceros y la densidad de ceros de la función zeta de Riemann .

Conjeturas

En 1914, Godfrey Harold Hardy demostró ^[1] que la función zeta de Riemann tiene un número infinito de ceros reales.${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Sea el número total de ceros reales, sea ​​el número total de ceros de orden impar de la función , que se encuentran en el intervalo .${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0}(T)}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$${\displaystyle (0,T]}$

Hardy y Littlewood afirmaron ^[2] dos conjeturas. Estas conjeturas, sobre la distancia entre ceros reales de y sobre la densidad de ceros de sobre intervalos para lo suficientemente grande , y con el menor valor posible de , donde es un número arbitrariamente pequeño, abren dos nuevas direcciones en la investigación de la zeta de Riemann. función.${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Para cualquiera existe tal que para y el intervalo contiene un cero de orden impar de la función .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

2. Para cualquier existe y , de modo que para y la desigualdad es verdadera.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Estado

En 1942 Atle Selberg estudió el problema 2 y demostró que para cualquiera existe tal y tal que para y la desigualdad es verdadera.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$

A su vez, Selberg hizo su conjetura ^{[3] de} que es posible disminuir el valor del exponente para lo cual fue probado 42 años después por AA Karatsuba . ^[4]${\displaystyle a=0.5}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$

Referencias

1. Hardy, GH (1914). "Sur les zeros de la fonction ". Compt. Desgarrar. Acad. Sci . 158 : 1012–1014.${\displaystyle \zeta (s)}$
2. Hardy, GH; Littlewood, JE (1921). "Los ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica" . Matemáticas. Z . 10 (3–4): 283–317. doi : 10.1007 / bf01211614 . S2CID 126338046 . 
3. Selberg, A. (1942). "Sobre los ceros de la función zeta de Riemann". SHR. Norske Vid. Akad. Oslo . 10 : 1-59.
4. Karatsuba, AA (1984). "Sobre los ceros de la función ζ (s) en intervalos cortos de la línea crítica". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat . 48 (3): 569–584.