Función c de Harish-Chandra
En matemáticas , de Harish-Chandra c -Función es una función relacionada con el operador de entrelazamiento entre dos principales representaciones de la serie , que aparece en la medida Plancherel para grupos de Lie semisimples . Harish-Chandra ( 1958a , 1958b ) introdujo un caso especial definido en términos del comportamiento asintótico de una función esférica zonal de un grupo de Lie, y Harish-Chandra ( 1970 ) introdujo una función c más general llamada Harish-Chandra ( generalizado) C -función . Gindikin y Karpelevich ( 1962 , 1969 ) introdujeron la fórmula de Gindikin-Karpelevich , una fórmula de producto para la función c de Harish-Chandra .
La función c tiene una generalización c w (λ) dependiendo de un elemento w del grupo Weyl . El elemento único de mayor longitud s 0 , es el único elemento que transporta la cámara de Weyl sobre . Por la fórmula integral de Harish-Chandra, c s 0 es la función c de Harish-Chandra :
donde ξ 0 es la función constante 1 en L 2 ( K / M ). La propiedad de ciclo de los operadores entrelazados implica una propiedad multiplicativa similar para las funciones c :
Esto reduce el cálculo de c s al caso en el que s = s α , la reflexión en una raíz (simple) α, la llamada "reducción de rango uno" de Gindikin & Karpelevič (1962) . De hecho, la integral involucra solo el subgrupo conectado cerrado G α correspondiente a la subálgebra de Lie generada por donde α se encuentra en Σ 0 + . Entonces G α es un grupo de Lie semisimple real con rango real uno, es decir, dim A α = 1, y c s es solo la función c de Harish-Chandra de G α. En este caso, la función c se puede calcular directamente y viene dada por
La fórmula general de Gindikin-Karpelevich para c (λ) es una consecuencia inmediata de esta fórmula y de las propiedades multiplicativas de c s (λ), como sigue:
La función c aparece en el teorema de Plancherel para funciones esféricas , y la medida de Plancherel es 1 / c 2 veces la medida de Lebesgue.