En matemáticas , en particular la teoría de las álgebras de Lie , el grupo de Weyl (llamado así por Hermann Weyl ) de un sistema de raíces Φ es un subgrupo del grupo de isometría de ese sistema de raíces. Específicamente, es el subgrupo que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces y, como tal, es un grupo de reflexión finito . De hecho, resulta que la mayoría de los grupos de reflexión finitos son grupos de Weyl. [1] En abstracto, los grupos Weyl son grupos Coxeter finitos , y son ejemplos importantes de estos.
El grupo Weyl de un grupo de Lie semisimple , un álgebra de Lie semisimple , un grupo algebraico lineal semisimple , etc. es el grupo Weyl del sistema de raíces de ese grupo o álgebra .
Definición y ejemplos
Dejar ser un sistema de raíces en un espacio euclidiano. Para cada raíz, dejar denotar la reflexión sobre el hiperplano perpendicular a , que se da explícitamente como
- ,
dónde es el producto interior en . El grupo Weyl de es el subgrupo del grupo ortogonal generado por todos los 's. Según la definición de un sistema raíz, cada conservas , de lo que se sigue que es un grupo finito.
En el caso de la sistema de raíces, por ejemplo, los hiperplanos perpendiculares a las raíces son solo líneas, y el grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, como se indica en la figura. Como un grupo,es isomorfo al grupo de permutación en tres elementos, que podemos considerar como los vértices del triángulo. Tenga en cuenta que en este caso,no es el grupo de simetría completo del sistema raíz; una rotación de 60 grados conserva pero no es un elemento de .
También podemos considerar el sistema raíz. En este caso, es el espacio de todos los vectores en cuyas entradas suman cero. Las raíces consisten en los vectores de la forma, dónde es el el elemento básico estándar para . El reflejo asociado a tal raíz es la transformación de obtenido intercambiando el th y th entradas de cada vector. El grupo Weyl para es entonces el grupo de permutación en elementos.
Cámaras Weyl
Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordar que denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generado por todos los 's. El complemento del conjunto de hiperplanos está desconectado y cada componente conectado se denomina cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tal que para todos .
Desde los reflejos preservar , también conservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Por tanto, cada elemento del grupo Weyl permuta las cámaras Weyl.
La figura ilustra el caso del sistema raíz A2. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican mediante líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada.
Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: [2]
- Teorema : El grupo de Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por tanto, el orden del grupo Weyl es igual al número de cámaras Weyl.
Un resultado relacionado es este: [3]
- Teorema : arreglar una cámara de Weyl . Entonces para todos , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de .
Estructura del grupo Coxeter
Grupo electrógeno
Un resultado clave sobre el grupo Weyl es este: [4]
- Teorema : Si es la base para , entonces el grupo Weyl es generado por los reflejos con en .
Es decir, el grupo generado por las reflexiones es el mismo que el grupo generado por las reflexiones .
Relaciones
Mientras tanto, si y estan en , luego el diagrama de Dynkin para relativo a la base nos dice algo sobre cómo la pareja se comporta. Específicamente, suponga y son los vértices correspondientes en el diagrama de Dynkin. Entonces tenemos los siguientes resultados:
- Si no hay vínculo entre y , luego y viajar diariamente. Desde y cada uno tiene el orden dos, esto equivale a decir que .
- Si hay un vínculo entre y , luego .
- Si hay dos vínculos entre y , luego .
- Si hay tres enlaces entre y , luego .
La afirmación anterior no es difícil de verificar, si simplemente recordamos lo que nos dice el diagrama de Dynkin sobre el ángulo entre cada par de raíces. Si, por ejemplo, no hay vínculo entre los dos vértices, entonces y son ortogonales, de lo que se deduce fácilmente que los reflejos correspondientes conmutan. De manera más general, el número de enlaces determina el ánguloentre las raíces. El producto de las dos reflexiones es entonces una rotación en ángulo. en el plano atravesado por y , como el lector puede verificar, de lo cual se sigue fácilmente la afirmación anterior.
Como grupo Coxeter
Los grupos de Weyl son ejemplos de grupos de reflexión finitos, ya que son generados por reflexiones; los grupos abstractos (no considerados como subgrupos de un grupo lineal) son en consecuencia grupos de Coxeter finitos , lo que les permite ser clasificados por su diagrama de Coxeter-Dynkin . Ser un grupo Coxeter significa que un grupo Weyl tiene un tipo especial de presentación en la que cada generador x i es de orden dos, y las relaciones distintas de x i 2 = 1 son de la forma ( x i x j ) m ij = 1 . Los generadores son las reflexiones dadas por raíces simples, y m ij es 2, 3, 4 o 6 dependiendo de si las raíces i y j forman un ángulo de 90, 120, 135 o 150 grados, es decir, si están en el diagrama de Dynkin. están desconectados, conectados por un borde simple, conectados por un borde doble o conectados por un borde triple. Ya hemos señalado estas relaciones en los puntos anteriores, pero para decir quees un grupo Coxeter, estamos diciendo que esas son las únicas relaciones en.
Los grupos Weyl tienen una función de orden y longitud de Bruhat en términos de esta presentación: la longitud de un elemento del grupo Weyl es la longitud de la palabra más corta que representa ese elemento en términos de estos generadores estándar. Hay un elemento único más largo de un grupo Coxeter , que es opuesto a la identidad en el orden Bruhat.
Grupos de Weyl en entornos algebraicos, teóricos de grupos y geométricos
Arriba, el grupo de Weyl se definió como un subgrupo del grupo de isometría de un sistema de raíces. También hay varias definiciones de Weyl grupos particulares para los diversos contextos grupo-teóricos y geométricas ( álgebra de Lie , grupo de Lie , espacio simétrico , etc.). Para cada una de estas formas de definir grupos de Weyl, es un teorema (generalmente no trivial) que es un grupo de Weyl en el sentido de la definición en la parte superior de este artículo, es decir, el grupo de Weyl de algún sistema de raíces asociado con el objeto. Una realización concreta de tal grupo de Weyl generalmente depende de una elección, por ejemplo, de la subálgebra de Cartan para un álgebra de Lie, del toro máximo para un grupo de Lie. [5]
El grupo Weyl de un grupo Lie compacto conectado
Dejar Ser un grupo de Lie compacto conectado y dejar ser un toro máximo en. Luego presentamos el normalizador de en , denotado y definido como
- .
También definimos el centralizador de en , denotado y definido como
- .
El grupo Weyl de (relativo al toro máximo dado ) se define entonces inicialmente como
- .
Eventualmente, uno prueba que , [6] en cuyo punto uno tiene una descripción alternativa del grupo Weyl como
- .
Ahora, se puede definir un sistema raíz. asociado a la pareja ; las raíces son los pesos distintos de cero de la acción adjunta de en el álgebra de Lie de . Para cada, se puede construir un elemento de cuya acción en tiene la forma de reflejo. [7] Con un poco más de esfuerzo, se puede demostrar que estos reflejos generan todos los. [6] Así, al final, el grupo Weyl definido como o es isomorfo al grupo Weyl del sistema de raíces .
En otros entornos
Para un álgebra de Lie semisimple compleja, el grupo de Weyl se define simplemente como el grupo de reflexión generado por las reflexiones en las raíces: la realización específica del sistema de raíces dependiendo de la elección de la subálgebra de Cartan .
Para un grupo de Lie G que satisface ciertas condiciones, [nota 1] dado un toro T < G (que no necesita ser máximo), el grupo de Weyl con respecto a ese toro se define como el cociente del normalizador del toro N = N ( T ) = N G ( T ) por el centralizador del toro Z = Z ( T ) = Z G ( T ),
El grupo W es finito - Z es de finito índice en N . Si T = T 0 es un toro máximo (por lo que es igual a su propio centralizador:), Entonces el cociente resultante N / Z = N / T se llama el grupo Weyl de G , y denota W ( G ). Tenga en cuenta que el conjunto del cociente específico depende de la elección del toro máximo , pero los grupos resultantes son todos isomorfos (por un automorfismo interno de G ), ya que los toros máximos se conjugan.
Si G es compacto y está conectado, y T es un toro máximo , entonces el grupo Weyl de G es isomorfo al grupo Weyl de su álgebra de Lie, como se discutió anteriormente.
Por ejemplo, para el grupo lineal general GL, un toro máximo es el subgrupo D de matrices diagonales invertibles, cuyo normalizador son las matrices de permutación generalizadas (matrices en forma de matrices de permutación , pero con cualquier número distinto de cero en lugar de ' 1's), y cuyo grupo Weyl es el grupo simétrico . En este caso el mapa cociente N → N / T se divide (a través de las matrices de permutación), por lo que el normalizador N es un producto semidirecto del toro y el grupo Weyl, y el grupo de Weyl se pueden expresar como un subgrupo de G . En general, este no es siempre el caso: el cociente no siempre se divide, el normalizador N no siempre es el producto semidirecto de W y Z, y el grupo de Weyl no siempre se puede realizar como un subgrupo de G. [5]
Descomposición de Bruhat
Si B es un subgrupo Borel de G , es decir, se elige un subgrupo resoluble conectado máximo y un toro máximo T = T 0 para que se encuentre en B , entonces obtenemos la descomposición de Bruhat
lo que da lugar a la descomposición de la variedad bandera G / B en células de Schubert (ver Grassmannian ).
La estructura del diagrama de Hasse del grupo está relacionada geométricamente con la cohomología de lo múltiple (más bien, de las formas reales y complejas del grupo), que está restringida por la dualidad de Poincaré . Por tanto, las propiedades algebraicas del grupo Weyl corresponden a las propiedades topológicas generales de las variedades. Por ejemplo, la dualidad de Poincaré da un emparejamiento entre celdas en la dimensión k y en la dimensión n - k (donde n es la dimensión de una variedad): la celda dimensional inferior (0) corresponde al elemento de identidad del grupo Weyl, y la celda dual La celda de dimensión superior corresponde al elemento más largo de un grupo Coxeter .
Analogía con grupos algebraicos
Hay una serie de analogías entre los grupos algebraicos y los grupos de Weyl; por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico es n !, Y el número de elementos del grupo lineal general sobre un campo finito está relacionado con el factor q ; así, el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el campo con un elemento". Esto lo formaliza el campo con un elemento , que considera que los grupos de Weyl son grupos algebraicos simples sobre el campo con un elemento.
Cohomología
Para un grupo de Lie compacto conectado no abeliano G, la primera cohomología de grupo del grupo W de Weyl con coeficientes en el toro máximo T usado para definirlo, [nota 2] está relacionada con el grupo de automorfismo externo del normalizadorcomo: [8]
Los automorfismos externos del grupo Out ( G ) son esencialmente los automorfismos de diagrama del diagrama de Dynkin , mientras que la cohomología de grupo se calcula en Hämmerli, Matthey & Suter 2004 y es un grupo abeliano elemental finito 2 (); para los grupos de Lie simples tiene orden 1, 2 o 4. La cohomología de los grupos 0 y 2 también están estrechamente relacionados con el normalizador. [8]
Ver también
- Grupo de Weyl afín
- Álgebra de mentira semimple # subálgebras de Cartan y sistemas de raíces
- Toro máximo
- Sistema de raíces de un álgebra de Lie semi-simple
- Diagrama de Hasse
Notas al pie
Notas
- ^ Diferentes condiciones son suficientes, la mayoría simplemente si G está conectado y es compacto o un grupo algebraico afín. La definición es más simple para un grupo de Lie semisimple (o más generalmente reductor) sobre un campo algebraicamente cerrado , perose puede definir un grupo de Weyl relativo para un grupo de Lie dividido .
- ^ W actúa sobre T - así se define - y el grupo significa "con respecto a esta acción".
Citas
- ^ Humphreys 1992 , p. 6.
- ↑ Hall 2015 Propositions 8.23 y 8.27
- ↑ Hall 2015 Proposición 8.29
- ↑ Hall 2015 Propositions 8.24
- ↑ a b Popov y Fedenko, 2001
- ^ a b Teorema de Hall 2015 11.36
- ↑ Hall 2015 Propositions 11.35
- ↑ a b Hämmerli, Matthey y Suter 2004
Referencias
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
- Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups: Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, 140 (2a ed.), Birkhaeuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
- Popov, VL ; Fedenko, AS (2001) [1994], "Grupo Weyl" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Hämmerli, J.-F .; Matthey, M .; Suter, U. (2004), "Automorfismos de normalizadores de tori máximos y primera cohomología de grupos de Weyl" (PDF) , Journal of Lie Theory , Heldermann Verlag, 14 : 583–617, Zbl 1092.22004
Otras lecturas
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- Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de Grupos Coxeter , Textos de Posgrado en Matemáticas , 231 , Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
- Coxeter, HSM (1934), "Grupos discretos generados por reflexiones", Ann. de Matemáticas. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , doi : 10.2307 / 1968753 , JSTOR 1968753
- Coxeter, HSM (1935), "La enumeración completa de grupos finitos de la forma", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21
- Davis, Michael W. (2007), La geometría y topología de los grupos de Coxeter (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
- Grove, Larry C .; Benson, Clark T. (1985), Grupos de reflexión finitos , Textos de posgrado en matemáticas, 99 , Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
- Hiller, Howard (1982), Geometría de grupos de Coxeter , Notas de investigación en matemáticas, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
- Howlett, Robert B. (1988), "Sobre los multiplicadores de Schur de los grupos Coxeter", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112 / jlms / s2-38.2.263 , Zbl 0627.20019
- Humphreys, James E. (1992) [1990], Grupos de reflexión y grupos Coxeter , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
- Ihara, S .; Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos" (PDF) , J. Fac. Sci. Univ. Tokio, Secta. 1 , 11 : 155-171, Zbl 0136.28802
- Kane, Richard (2001), Grupos de reflexión y teoría invariante , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
- Vinberg, EB (1984), "Ausencia de grupos cristalográficos de reflejos en espacios de Lobachevski de gran dimensión", Trudy Moskov. Estera. Obshch. , 47
- Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de infinitos grupos de reflexión discretos", J. Fac. Sci. Univ. Tokio, Secta. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049 , Zbl 0136.28803
enlaces externos
- "Grupo Coxeter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Grupo Coxeter" . MathWorld .
- Software Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos Coxeter finitos en hasta cuatro generadores