En matemáticas , la medida de Plancherel es una medida definida en el conjunto de representaciones unitarias irreductibles de un grupo localmente compacto. , que describe cómo la representación regular se rompe en representaciones unitarias irreductibles. En algunos casos, el término medida de Plancherel se aplica específicamente en el contexto del grupo siendo el grupo simétrico finito - vea abajo. Lleva el nombre del matemático suizo Michel Plancherel por su trabajo en la teoría de la representación .
Definición de grupos finitos
Dejar ser un grupo finito , denotamos el conjunto de sus representaciones irreductibles por. La medida de Plancherel correspondiente sobre el conjunto es definido por
dónde , y denota la dimensión de la representación irreductible . [1]
Definición sobre el grupo simétrico
Un caso especial importante es el caso del grupo simétrico finito , dónde es un número entero positivo. Para este grupo, el conjuntode representaciones irreductibles está en biyección natural con el conjunto de particiones enteras de. Para una representación irreducible asociada con una partición entera, se sabe que su dimensión es igual a , el número de cuadros de forma estándar de Young, por lo que en este caso la medida de Plancherel a menudo se piensa como una medida en el conjunto de particiones enteras de orden dado n , dado por
El hecho de que esas probabilidades sumen 1 se deriva de la identidad combinatoria
que corresponde a la naturaleza biyectiva de la correspondencia Robinson-Schensted .
Solicitud
La medida de Plancherel aparece naturalmente en problemas combinatorios y probabilísticos, especialmente en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria . Como resultado de su importancia en esa área, en muchos trabajos de investigación actuales el término medida de Plancherel se refiere casi exclusivamente al caso del grupo simétrico.
Conexión a la subsecuencia creciente más larga
Dejar denotar la longitud de una subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria en elegido según la distribución uniforme. Dejardenotar la forma de los cuadros de Young correspondientes relacionados conpor la correspondencia Robinson-Schensted . Entonces se mantiene la siguiente identidad:
dónde denota la longitud de la primera fila de . Además, del hecho de que la correspondencia Robinson-Schensted es biyectiva se deduce que la distribución de es exactamente la medida de Plancherel en . Entonces, para comprender el comportamiento de, es natural mirar con elegido según la medida Plancherel en , ya que estas dos variables aleatorias tienen la misma distribución de probabilidad. [3]
Medida de Plancherel poissonizada
La medida de Plancherel se define en por cada entero . En varios estudios del comportamiento asintótico de como , ha resultado útil [4] extender la medida a una medida, llamada medida de Plancherel Poissonizada , en el conjuntode todas las particiones enteras. Para cualquier, la medida de Plancherel Poissonizada con parámetro En el set es definido por
para todos . [2]
Proceso de crecimiento de Plancherel
El proceso de crecimiento de Plancherel es una secuencia aleatoria de diagramas de Young tal que cada es un diagrama de orden de Young aleatorio cuya distribución de probabilidad es la n- ésima medida de Plancherel, y cada sucesiva se obtiene de su predecesor por la adición de un solo cuadro, de acuerdo con la probabilidad de transición
para cualquier diagrama de Young dado y de tamaños n - 1 yn , respectivamente. [5]
Por lo tanto, el proceso de crecimiento de Plancherel puede verse como un acoplamiento natural de las diferentes medidas de Plancherel de todos los grupos simétricos o, alternativamente, como un paseo aleatorio sobre el enrejado de Young . No es difícil demostrar que la distribución de probabilidad deen este paseo coincide con la medida Plancherel en. [6]
Grupos compactos
La medida de Plancherel para grupos compactos es similar a la de grupos finitos, excepto que no es necesario que la medida sea finita. El dual unitario es un conjunto discreto de representaciones de dimensión finita, y la medida de Plancherel de una representación de dimensión finita irreductible es proporcional a su dimensión.
Grupos abelianos
El dual unitario de un grupo abeliano localmente compacto es otro grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Plancherel es proporcional a la medida de Haar del grupo dual.
Grupos de Semisimple Lie
Harish-Chandra encontró la medida de Plancherel para grupos de Lie semisimplejos . El soporte es el conjunto de representaciones templadas y, en particular, no es necesario que todas las representaciones unitarias ocurran en el soporte.
Referencias
- ^ Borodin, A .; Okounkov, A. (2000). "Asintóticas de Plancherel medidas para grupos simétricos" . J. Amer. Matemáticas. Soc . 13: 491–515. 13 (3): 481–515. doi : 10.1090 / S0894-0347-00-00337-4 . S2CID 14183320 .
- ^ a b Johansson, K. (2001). "Conjuntos polinomiales ortogonales discretos y la medida de Plancherel". Annals of Mathematics . 153 (1): 259-296. arXiv : matemáticas / 9906120 . doi : 10.2307 / 2661375 . JSTOR 2661375 . S2CID 14120881 .
- ^ Logan, BF; Shepp, LA (1977). "Un problema variacional para cuadros jóvenes aleatorios" . Avances en Matemáticas . 26 (2): 206–222. doi : 10.1016 / 0001-8708 (77) 90030-5 .
- ^ Baik, J .; Deift, P .; Johansson, K. (1999). "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias" . J. Amer. Matemáticas. Soc . 12: 1119-1178. 12 (4): 1119-1178. doi : 10.1090 / S0894-0347-99-00307-0 . S2CID 11355968 .
- ^ Vershik, AM; Kerov, SV (1985). "Las asintóticas de dimensiones máximas y típicas representaciones irreductibles del grupo simétrico". Funct. Anal. Apl . 19: 21–31. doi : 10.1007 / BF01086021 . S2CID 120927640 .
- ^ Kerov, S. (1996). "Un modelo diferencial de crecimiento de diagramas de Young". Actas de la Sociedad Matemática de San Petersburgo .