En matemáticas , una función esférica zonal o, a menudo, simplemente una función esférica es una función en un grupo localmente compacto G con un subgrupo compacto K (a menudo un subgrupo compacto máximo ) que surge como el coeficiente de matriz de un vector K- invariante en una representación irreducible de G . Los ejemplos clave son los coeficientes matriciales de la serie principal esférica , las representaciones irreductibles que aparecen en la descomposición de la representación unitaria de G en L 2( G / K ). En este caso, el conmutador de G es generado por el álgebra de funciones biinvariantes en G con respecto a K que actúa por convolución derecha . Es conmutativo si además G / K es un espacio simétrico , por ejemplo cuando G es un grupo de Lie semisimple conectado con centro finito y K es un subgrupo compacto máximo. Los coeficientes de la matriz de la serie principal esférica describen con precisión el espectro del álgebra C * correspondiente generado por las funciones biinvariantes de soporte compacto , a menudo llamado álgebra de Hecke . El espectro del álgebra conmutativa de Banach * de las funciones biinvariantes L 1 es mayor; cuando G es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo compacto máximo K , los caracteres adicionales provienen de los coeficientes matriciales de la serie complementaria , obtenidos por la continuación analítica de la serie principal esférica.
Las funciones esféricas zonales se han determinado explícitamente para grupos semisimples reales por Harish-Chandra . Para grupos lineales especiales , Israel Gelfand y Mark Naimark los descubrieron de forma independiente . Para grupos complejos, la teoría simplifica de manera significativa, porque G es la complejización de K , y las fórmulas están relacionados con extensión analítica de la fórmula carácter Weyl en K . La teoría analítica funcional abstracta de las funciones esféricas zonales fue desarrollada por primera vez por Roger Godement . Aparte de su interpretación de la teoría de grupo, las funciones esféricas zonales para un grupo de Lie semisimple G también proporcionan un conjunto de funciones propias simultáneas para la acción natural del centro del álgebra envolvente universal de G sobre L 2 ( G / K ), como operadores diferenciales en el espacio simétrico G / K . Para los grupos de Lie p-ádicos semisimple, la teoría de las funciones esféricas zonales y las álgebras de Hecke fueron desarrolladas por primera vez por Satake e Ian G. Macdonald . Los análogos del teorema de Plancherel y la fórmula de inversión de Fourier en este contexto generalizan las expansiones de función propia de Mehler, Weyl y Fock para ecuaciones diferenciales ordinarias singulares : se obtuvieron en generalidad completa en la década de 1960 en términos de la función c de Harish-Chandra .
El nombre "función esférica zonal" proviene del caso en el que G es SO (3, R ) actuando sobre una 2-esfera y K es el subgrupo que fija un punto: en este caso, las funciones esféricas zonales pueden considerarse como ciertas funciones en el esfera invariante bajo rotación alrededor de un eje fijo.
Definiciones
Sea G un grupo topológico unimodular localmente compacto y K un subgrupo compacto y sea H 1 = L 2 ( G / K ). Así, H 1 admite una representación unitaria π de G por traslación a la izquierda. Esta es una subrepresentación de la representación regular, ya que si H = L 2 ( G ) con representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ de G y P es la proyección ortogonal
de H a H 1, entonces H 1 puede identificarse naturalmente con PH con la acción de G dada por la restricción de λ.
Por otro lado, según el teorema de conmutación de von Neumann [1]
donde S ' denota el conmutador de un conjunto de operadores S , de modo que
Por lo tanto, el conmutador de π se genera como un álgebra de von Neumann por operadores
donde f es una función continua de soporte compacto en G . [a]
Sin embargo, P ρ ( f ) P es solo la restricción de ρ ( F ) a H 1 , donde
es la función continua K -biinvariante del soporte compacto obtenida promediando f por K en ambos lados.
Así, el commutant de π se genera por la restricción de los operadores rho ( F ) con F en C c ( K \ G / K ), los K -biinvariant funciones continuas de soporte compacto en G .
Estas funciones forman un * álgebra bajo convolución con involución
a menudo llamado álgebra de Hecke para el par ( G , K ).
Sea A ( K \ G / K ) el álgebra C * generada por los operadores ρ ( F ) en H 1 .
Se dice que el par ( G , K ) es un par Gelfand [2] si una, y por tanto todas, las siguientes álgebras son conmutativas :
Dado que A ( K \ G / K ) es un álgebra conmutativa C * , según el teorema de Gelfand-Naimark tiene la forma C 0 ( X ), donde X es el espacio localmente compacto de homomorfismos normales * continuos de A ( K \ G / K ) en C .
Una realización concreta de los * homomorfismos en X como K - funciones biinvariantes uniformemente acotadas en G se obtiene de la siguiente manera. [2] [3] [4] [5] [6]
Por la estimación
la representación π de C c ( K \ G / K ) en A ( K \ G / K ) se extiende por continuidad a L 1 ( K \ G / K ), el * álgebra de K -bi funciones integrables invariables. La imagen forma una subálgebra densa * de A ( K \ G / K ). La restricción de un * homomorfismo χ continuo para la norma del operador también es continua para la norma || · || 1 . Dado que el espacio de Banach dual de L 1 es L ∞ , se deduce que
para algunos único uniformemente delimitada K función -biinvariant h en G . Estas funciones h son exactamente las funciones esféricas zonales para el par ( G , K ).
Propiedades
Una función esférica zonal h tiene las siguientes propiedades: [2]
- h es uniformemente continua en G
- h (1) = 1 (normalización)
- h es una función definida positiva en G
- f * h es proporcional ah para todo f en C c ( K \ G / K ).
Estas son consecuencias fáciles del hecho de que el funcional lineal acotado χ definido por h es un homomorfismo. Las propiedades 2, 3 y 4 o las propiedades 3, 4 y 5 caracterizan las funciones esféricas zonales. Se puede obtener una clase más general de funciones esféricas zonales eliminando la definición positiva de las condiciones, pero para estas funciones ya no hay ninguna conexión con representaciones unitarias . Para los grupos de Lie semisimple, hay una caracterización adicional como funciones propias de operadores diferenciales invariantes en G / K (ver más abajo).
De hecho, como un caso especial de la construcción Gelfand-Naimark-Segal , existe una correspondencia uno-uno entre las representaciones irreductibles σ de G que tienen un vector unitario v fijado por K y funciones esféricas zonales h dadas por
Estas representaciones irreductibles a menudo se describen como de clase uno . Son precisamente las representaciones irreductibles necesarias para descomponer la representación inducida π en H 1 . Cada representación σ se extiende de forma única por continuidad a A ( K \ G / K ), de modo que cada función esférica zonal satisface
para f en A ( K \ G / K ). Además, dado que el conmutador π ( G ) 'es conmutativo, hay una medida de probabilidad única μ en el espacio de * homomorfismos X tal que
μ se denomina medida de Plancherel . Dado que π ( G ) 'es el centro del álgebra de von Neumann generada por G , también da la medida asociada con la descomposición integral directa de H 1 en términos de las representaciones irreductibles σ χ .
Pares de gelfand
Si G es un grupo de Lie conectado , entonces, gracias al trabajo de Cartan , Malcev , Iwasawa y Chevalley , G tiene un subgrupo compacto máximo , único hasta la conjugación. [7] [8] En este caso K está conectado y el cociente G / K es difeomórfico a un espacio euclidiano. Cuando G es además semisimple , esto se puede ver directamente usando la descomposición de Cartan asociada al espacio simétrico G / K , una generalización de la descomposición polar de matrices invertibles. De hecho, si τ es el automorfismo del período dos asociado de G con el subgrupo de punto fijo K , entonces
dónde
Bajo el mapa exponencial , P es difeomorfa a la -1 espacio característico de τ en el álgebra de Lie de G . Dado que τ conserva K , induce un automorfismo del álgebra de Hecke C c ( K \ G / K ). Por otro lado, si F se encuentra en C c ( K \ G / K ), entonces
- F (τ g ) = F ( g −1 ),
de modo que τ induce un anti-automorfismo, porque la inversión lo hace. Por tanto, cuando G es semisimple,
- el álgebra de Hecke es conmutativa
- ( G , K ) es un par Gelfand.
De manera más general, el mismo argumento da el siguiente criterio de Gelfand para que ( G , K ) sea un par de Gelfand: [9]
- G es un grupo localmente compacto unimodular;
- K es un subgrupo compacto que surge como los puntos fijos de un período dos automorfismo τ de G ;
- G = K · P (no necesariamente un producto directo), donde P se define como antes.
Los dos ejemplos más importantes cubiertos por esto son cuando:
- G es un grupo de Lie semisimple conectado compacto con τ un automorfismo de período dos; [10] [11]
- G es un producto semidirecto, Con A un grupo abeliano localmente compacto sin 2-torsión y τ ( un · k ) = k · un -1 para un en A y k en K .
Los tres casos cubren los tres tipos de espacios simétricos G / K : [5]
- Tipo no compacto , cuando K es un subgrupo compacto máximo de un grupo de Lie semisimple real no compacto G ;
- Tipo compacto , cuando K es el subgrupo de punto fijo de un automorfismo de período dos de un grupo de Lie compacto semisimple G ;
- Tipo euclidiana , cuando A es un espacio euclídeo de dimensión finita con una acción ortogonal de K .
Teorema de Cartan-Helgason
Sea G un grupo de Lie compacto semisimple conectado y simplemente conectado y τ un automorfismo de período dos de un G con subgrupo de punto fijo K = G τ . En este caso, K es un grupo de Lie compacto conectado. [5] Además, sea T un toro máximo de G invariante bajo τ, tal que T P es un toro máximo en P , y establece [12]
S es el producto directo de un toro y un grupo 2 abeliano elemental .
En 1929 Élie Cartan encontró una regla para determinar la descomposición de L 2 ( G / K ) en la suma directa de representaciones irreductibles de dimensión finita de G , que fue probada rigurosamente solo en 1970 por Sigurdur Helgason . Debido a que el conmutador de G en L 2 ( G / K ) es conmutativo, cada representación irreductible aparece con multiplicidad uno. Por Frobenius reciprocidad para grupos compactos, las representaciones irreducibles V que se producen son precisamente las admitir un vector no cero fijado por K .
De la teoría de la representación de grupos semisimple compactos , las representaciones irreductibles de G se clasifican por su peso más alto . Esto se especifica por un homomorfismo de la máxima toroide T en T .
El teorema de Cartan-Helgason [13] [14] establece que
las representaciones irreducibles de G admitir un vector distinto de cero fijado por K son, precisamente, aquellos con mayores pesos que corresponde a homomorfismos trivial en S .
Las representaciones irreductibles correspondientes se denominan representaciones esféricas .
El teorema se puede demostrar [5] usando la descomposición de Iwasawa :
dónde , , son las complejificaciones de las álgebras de Lie de G , K , A = T P y
sumado sobre todos los espacios propios para T encorrespondiente a las raíces positivas α no fijadas por τ.
Deje V ser una representación esférica con el vector de peso más alto v 0 y K -Fixed vector v K . Dado que v 0 es un vector propio del álgebra de Lie resoluble, El Poincaré-Birkhoff-Witt teorema implica que el K -módulo generado por v 0 es la totalidad de V . Si Q es la proyección ortogonal sobre los puntos fijos de K en V obtenida promediando G con respecto a la medida de Haar , se deduce que
para alguna constante distinta de cero c . Debido a que v K se fija por S y v 0 es un vector propio de S , el subgrupo S debe estar efectivamente fijar v 0 , una forma equivalente de la condición trivialidad en S .
Por el contrario, si v 0 está fijado por S , entonces se puede demostrar [15] que el coeficiente de la matriz
es no negativo sobre K . Desde f (1)> 0, se deduce que ( Qv 0 , v 0 )> 0 y por lo tanto que Qv 0 es un no-cero vector fijado por K .
Fórmula de Harish-Chandra
Si G es un grupo de Lie semisimple no compacto, su subgrupo compacto máximo K actúa por conjugación sobre el componente P en la descomposición de Cartan . Si A es un subgrupo abeliano máximo de G contenido en P , entonces A es difeomórfico a su álgebra de Lie bajo el mapa exponencial y, como una generalización adicional de la descomposición polar de matrices, cada elemento de P se conjuga bajo K a un elemento de A , de modo que [16]
- G = KAK .
También hay una descomposición de Iwasawa asociada.
- G = KAN ,
donde N es un subgrupo nilpotent cerrado, difeomorfa a su álgebra de Lie bajo el mapa exponencial y normalizado por A . Por tanto, S = AN es un subgrupo resoluble cerrado de G , el producto semidirecto de N por A y G = KS .
Si α en Hom ( A , T ) es un carácter de A , entonces α se extiende a un carácter de S , mediante la definición de que sea trivial en N . Existe una representación unitaria inducida correspondiente σ de G en L 2 ( G / S ) = L 2 ( K ), [17] una denominada representación en serie principal (esférica) .
Esta representación se puede describir explícitamente como sigue. A diferencia de G y K , el grupo de Lie solucionable S no es unimodular. Deje dx denotan queda invariante medida de Haar en S y Δ S la función modular de S . Entonces [5]
La representación de la serie principal σ se realiza en L 2 ( K ) como [18]
dónde
es la descomposición de Iwasawa de g con U ( g ) en K y X ( g ) en S y
para k en K y x en S .
La representación σ es irreducible, de modo que si v denota la función constante 1 en K , fijada por K ,
define una función esférica zonal de G .
Calcular el producto interno anterior conduce a la fórmula de Harish-Chandra para la función esférica zonal
como una integral sobre K .
Harish-Chandra demostró que estas funciones esféricas zonales agotan los caracteres del álgebra C * generados por el C c ( K \ G / K ) que actúa por convolución derecha sobre L 2 ( G / K ). También mostró que dos caracteres diferentes α y β dan la misma función esférica zonal si y solo si α = β · s , donde s está en el grupo de Weyl de A
el cociente del normalizador de A en K por su centralizador , un grupo de reflexión finito .
También se puede verificar directamente [2] que esta fórmula define una función esférica zonal, sin utilizar la teoría de la representación. La prueba para los grupos de Lie semisimples generales de que toda fórmula esférica zonal surge de esta manera requiere el estudio detallado de G - operadores diferenciales invariantes en G / K y sus funciones propias simultáneas (ver más abajo). [4] [5] En el caso de grupos semisimple complejos, Harish-Chandra y Felix Berezin se dieron cuenta de forma independiente de que la fórmula se simplificaba considerablemente y se podía probar más directamente. [5] [19] [20] [21] [22]
Las funciones esféricas zonales definidas positivas restantes están dadas por la fórmula de Harish-Chandra con α en Hom ( A , C *) en lugar de Hom ( A , T ). Solo se permiten ciertos α y las correspondientes representaciones irreductibles surgen como continuaciones analíticas de la serie principal esférica. Esta llamada " serie complementaria " fue estudiada por primera vez por Bargmann (1947) para G = SL (2, R ) y por Harish-Chandra (1947) y Gelfand & Naimark (1947) para G = SL (2, C ). Posteriormente, en la década de 1960, Ray Kunze, Elias Stein y Bertram Kostant desarrollaron sistemáticamente la construcción de una serie complementaria mediante la continuación analítica de la serie principal esférica para grupos de Lie semisimples generales . [23] [24] [25] Dado que estas representaciones irreductibles no están templadas , no suelen ser necesarias para el análisis armónico en G (o G / K ).
Funciones propias
Harish-Chandra demostró [4] [5] que las funciones esféricas zonales pueden ser caracterizados como aquellos definida normalizados positivos K funciones -invariant en G / K que son funciones propias de D ( G / K ), el álgebra de operadores diferenciales invariantes en G . Esta álgebra actúa sobre G / K y conmuta con la acción natural de G por traslación a la izquierda. Se puede identificar con el subálgebra de la álgebra envolvente universales de G fijo bajo la acción adjunto de K . En cuanto al conmutador de G en L 2 ( G / K ) y el álgebra de Hecke correspondiente, este álgebra de operadores es conmutativa ; de hecho, es una subálgebra del álgebra de operadores mesurables afiliados al conmutador π ( G ) ', un álgebra de Abelian von Neumann. Como demostró Harish-Chandra, es isomorfo al álgebra de los polinomios invariantes W ( A ) en el álgebra de Lie de A , que a su vez es un anillo polinomial según el teorema de Chevalley-Shephard-Todd sobre invariantes polinomiales de grupos de reflexión finitos . El operador diferencial invariante más simple en G / K es el operador laplaciano ; hasta una señal de este operador es sólo la imagen bajo π del operador de Casimir en el centro del álgebra envolvente universal de G .
Por lo tanto, una función k- biinvariante positiva definida normalizada f en G es una función esférica zonal si y solo si para cada D en D ( G / K ) hay una constante λ D tal que
es decir, f es una función propia simultánea de los operadores π ( D ).
Si ψ es una función esférica zonal, entonces, considerada como una función en G / K , es una función propia del laplaciano allí, un operador diferencial elíptico con coeficientes analíticos reales . Por regularidad elíptica analítica , ψ es una verdadera función analítica en G / K , y por lo tanto G .
Harish-Chandra usó estos hechos sobre la estructura de los operadores invariantes para demostrar que su fórmula proporcionaba todas las funciones esféricas zonales para los grupos de Lie semisimples reales. [26] [27] [28] De hecho, la conmutatividad del conmutador implica que todos los espacios propios simultáneos del álgebra de operadores diferenciales invariantes tienen dimensión uno; y la estructura polinomial de este álgebra obliga a que los valores propios simultáneos sean precisamente los que ya están asociados con la fórmula de Harish-Chandra.
Ejemplo: SL (2, C)
El grupo G = SL (2, C ) es la complejidad del grupo compacto de Lie K = SU (2) y la doble cobertura del grupo de Lorentz . Las representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz fueron estudiadas por primera vez por Dirac en 1945, quien consideró las representaciones de series discretas , a las que denominó expansores . Poco después, Harish-Chandra, Gelfand-Naimark y Bargmann emprendieron un estudio sistemático. Las representaciones irreductibles de clase uno, correspondientes a las funciones esféricas zonales, se pueden determinar fácilmente utilizando el componente radial del operador laplaciano . [5]
De hecho, cualquier matriz g de complejo unimodular 2 × 2 admite una descomposición polar única g = pv con v unitaria y p positiva. A su vez p = uau *, con u unitario y una matriz diagonal con entradas positivas. Así g = uaw con w = u * v , de modo que cualquier función K -biinvariante en G corresponde a una función de la matriz diagonal
invariante bajo el grupo de Weyl. Al identificar G / K con 3-espacio hiperbólico, las funciones hiperbólicas zonales ψ corresponden a funciones radiales que son funciones propias del Laplaciano. Pero en términos de la coordenada radial r , el laplaciano viene dado por [29]
Estableciendo f ( r ) = sinh ( r ) · ψ ( r ), se deduce que f es una función impar de r y una función propia de.
Por eso
dónde es real.
Existe un tratamiento elemental similar para los grupos de Lorentz generalizados SO ( N , 1) en Takahashi (1963) y Faraut & Korányi (1994) (recordemos que SO 0 (3,1) = SL (2, C ) / ± I) .
Caso complejo
Si G es un grupo de Lie semisimple complejo, es la complexificación de su subgrupo K compacto máximo . Si y son sus álgebras de Lie, entonces
Sea T un toro máximo en K con álgebra de Lie. Luego
Dejar
ser el grupo Weyl de T en K . Los caracteres de recuperación en Hom ( T , T ) se denominan pesos y pueden identificarse con elementos de la red de pesos Λ en Hom (, R ) =. Existe un orden natural en los pesos y cada representación irreducible de dimensión finita (π, V ) de K tiene un peso único más alto λ. Los pesos de la representación adjunta de K ense llaman raíces y ρ se usa para denotar la mitad de la suma de las raíces positivas α, la fórmula de caracteres de Weyl afirma que para z = exp X en T
donde, para μ en , A μ denota la antisimetrización
y ε denota el carácter de signo de la reflexión en grupo finito W .
La fórmula del denominador de Weyl expresa el denominador A ρ como un producto:
donde el producto está sobre las raíces positivas.
La fórmula de dimensión de Weyl afirma que
donde el producto interior enes el asociado con el formulario Killing en.
Ahora
- Toda representación irreducible de K se extiende holomórficamente hasta la complexificación G
- Todo carácter irreducible χ λ ( k ) de K se extiende holomórficamente a la complexificación de K y.
- para cada λ en Hom ( A , T ) =, hay una función esférica zonal φ λ .
La fórmula Berezin-Harish-Chandra [5] afirma que para X en
En otras palabras:
- las funciones esféricas zonales en un grupo de Lie semisimple complejo están dadas por la continuación analítica de la fórmula para los caracteres normalizados.
Una de las demostraciones más simples [30] de esta fórmula involucra el componente radial en A del Laplaciano en G , una prueba formalmente paralela a la reelaboración de Helgason de la demostración clásica de Freudenthal de la fórmula del carácter de Weyl , usando el componente radial en T del Laplaciano en K . [31]
En el último caso, las funciones de la clase en K pueden ser identificados con W funciones -invariant en T . El componente radial de Δ K en T es solo la expresión para la restricción de Δ K a W -funciones invariantes en T , donde está dada por la fórmula
dónde
para X en. Si χ es un carácter con mayor peso λ, se deduce que φ = h · χ satisface
Así, para cada peso μ con coeficiente de Fourier distinto de cero en φ,
El argumento clásico de Freudenthal muestra que μ + ρ debe tener la forma s (λ + ρ) para algunos s en W , por lo que la fórmula de caracteres se deriva de la antisimetría de φ.
De manera similar K funciones -biinvariant en G pueden ser identificados con W ( A ) funciones -invariant en A . El componente radial de Δ G en A es sólo la expresión de la restricción de Δ G a W ( A funciones -invariant) en A . Está dado por la fórmula
dónde
para X en.
La fórmula de Berezin-Harish-Chandra para una función esférica zonal φ se puede establecer introduciendo la función antisimétrica
que es una función propia del Laplaciano Δ A . Dado que K es generado por copias de subgrupos que son imágenes homomórficas de SU (2) correspondientes a raíces simples , su complexificación G es generada por las imágenes homomórficas correspondientes de SL (2, C ). La fórmula para funciones esféricas zonales de SL (2, C ) implica que f es una función periódica encon respecto a alguna subred . La antisimetría bajo el grupo de Weyl y el argumento de Freudenthal nuevamente implican que ψ debe tener la forma indicada hasta una constante multiplicativa, que se puede determinar usando la fórmula de dimensión de Weyl.
Ejemplo: SL (2, R)
La teoría de funciones esféricas zonales para SL (2, R ) se originó en el trabajo de Mehler en 1881 sobre geometría hiperbólica. Descubrió el análogo del teorema de Plancherel, que fue redescubierto por Fock en 1943. La correspondiente expansión de función propia se denomina transformada de Mehler-Fock . Ya se estableció sobre una base firme en 1910 por el importante trabajo de Hermann Weyl sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales ordinarias . La parte radial del laplaciano en este caso conduce a una ecuación diferencial hipergeométrica , cuya teoría fue tratada en detalle por Weyl. El enfoque de Weyl fue posteriormente generalizado por Harish-Chandra para estudiar las funciones esféricas zonales y el teorema de Plancherel correspondiente para grupos de Lie semisimple más generales. Siguiendo el trabajo de Dirac sobre las representaciones en series discretas de SL (2, R ), la teoría general de las representaciones unitarias irreductibles de SL (2, R ) fue desarrollada independientemente por Bargmann, Harish-Chandra y Gelfand-Naimark. Las representaciones irreductibles de la clase uno, o equivalentemente la teoría de funciones esféricas zonales, forman un caso especial importante de esta teoría.
El grupo G = SL (2, R ) es una doble cobertura del grupo de Lorentz tridimensional SO (2,1), el grupo de simetría del plano hiperbólico con su métrica de Poincaré . Actúa por transformaciones de Möbius . El semiplano superior puede identificarse con el disco unitario mediante la transformada Cayley . Bajo esta identificación G se identifica con el grupo SU (1,1), actuando también por transformaciones de Möbius. Debido a que la acción es transitiva , ambos espacios se pueden identificar con G / K , donde K = SO (2) . La métrica es invariante bajo G y el laplaciano asociado es G -invariante, coincidiendo con la imagen del operador de Casimir . En el modelo del semiplano superior, el laplaciano viene dado por la fórmula [5] [6]
Si s es un número complejo y z = x + iy con y > 0, la función
es una función propia de Δ:
Dado que Δ conmuta con G , cualquier traslación a la izquierda de f s también es una función propia con el mismo valor propio. En particular, promediando sobre K , la función
es un K -invariant función propia del Δ en G / K . Cuándo
con los bienes τ, estas funciones dan todas las funciones esféricas zonales en G . Al igual que con la fórmula más general de Harish-Chandra para grupos de Lie semisimplejos, φ s es una función esférica zonal porque es el coeficiente de la matriz correspondiente a un vector fijado por K en la serie principal . Hay varios argumentos disponibles para demostrar que no hay otros. Uno de los argumentos algebraicos clásicos de Lie más simples [5] [6] [32] [33] [34] es notar que, dado que Δ es un operador elíptico con coeficientes analíticos, por regularidad elíptica analítica cualquier función propia es necesariamente analítica real. Por lo tanto, si la función esférica zonal corresponde al coeficiente de matriz para un vector v y la representación σ, el vector v es un vector analítico para G y
para X en. La forma infinitesimal de las representaciones unitarias irreductibles con un vector fijado por K fue elaborada clásicamente por Bargmann. [32] [33] Corresponden precisamente a la serie principal de SL (2, R ). De ello se deduce que la función esférica zonal corresponde a una representación en serie principal.
Otro argumento clásico [35] procede mostrando que en funciones radiales el laplaciano tiene la forma
de modo que, en función de r , la función esférica zonal φ ( r ) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria
para alguna constante α. El cambio de variables t = sinh r transforma esta ecuación en la ecuación diferencial hipergeométrica . La solución general en términos de funciones de Legendre de índice complejo viene dada por [2] [36]
donde α = ρ (ρ + 1). Otras restricciones sobre ρ son impuestas por la acotación y positivo-precisión de la función esférica zonal en G .
Existe otro enfoque más, debido a Mogens Flensted-Jensen, que deriva las propiedades de las funciones esféricas zonales en SL (2, R ), incluida la fórmula de Plancherel, a partir de los resultados correspondientes para SL (2, C ), que son simples consecuencias de la fórmula Plancherel y fórmula de inversión de Fourier para R . Este "método de descenso" funciona de manera más general, permitiendo que los resultados de un grupo de Lie semisimple real se deriven por descenso de los resultados correspondientes para su complexificación. [37] [38]
Direcciones adicionales
- La teoría de las funciones zonales que no son necesariamente definidas positivas. Estos se dan mediante las mismas fórmulas que las anteriores, pero sin restricciones sobre el parámetro complejo s o ρ. Corresponden a representaciones no unitarias. [5]
- Fórmula de expansión e inversión de funciones propias de Harish-Chandra para funciones esféricas . [39] Este es un caso especial importante de su teorema de Plancherel para grupos de Lie semisimples reales.
- La estructura del álgebra de Hecke . Harish-Chandra y Godement demostraron que, como álgebras de convolución, existen isomorfismos naturales entre C c ∞ ( K \ G / K ) y C c ∞ ( A ) W , el invariante de subálgebra bajo el grupo de Weyl. [3] Esto es sencillo de establecer para SL (2, R ). [6]
- Funciones esféricas para grupos de movimiento euclidianos y grupos de Lie compactos . [5]
- Funciones esféricas para grupos de Lie p-ádicos . Estos fueron estudiados en profundidad por Satake y Macdonald . [40] [41] Su estudio, y el de las álgebras de Hecke asociadas, fue uno de los primeros pasos en la teoría de representación extensa de grupos de Lie p-ádicos semisimple, un elemento clave en el programa Langlands .
Ver también
- Teorema de Plancherel para funciones esféricas
- Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto
- Representaciones de grupos de Lie
- Análisis armónico no conmutativo
- Representación moderada
- Función definida positiva en un grupo
- Espacio simétrico
- Par de gelfand
Notas
- ^ Si σ es una representación unitaria de G , entonces.
Citas
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enlaces externos
- Casselman, William, Notas sobre funciones esféricas (PDF)