En matemáticas, el teorema de regularidad de Harish-Chandra , introducido por Harish-Chandra ( 1963 ), establece que toda distribución propia invariante en un grupo de Lie semisimple , y en particular cada carácter de una representación unitaria irreductible en un espacio de Hilbert , está dada por un elemento localmente integrable función . Harish-Chandra ( 1978 , 1999 ) demostró un teorema similar para los grupos p -ádicos semisimple .
Harish-Chandra ( 1955 , 1956 ) había demostrado previamente que cualquier auto-distribución invariante es analítica en los elementos regulares del grupo, mostrando que en estos elementos es una solución de una ecuación diferencial elíptica . El problema es que puede tener singularidades en los elementos singulares del grupo; el teorema de la regularidad implica que estas singularidades no son demasiado graves.
Declaración
Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama invariante si es invariante bajo conjugación por G .
Una distribución en un grupo G o su álgebra de Lie se llama distribución propia si es un vector propio del centro del álgebra envolvente universal de G (identificado con los operadores diferenciales invariantes de G izquierda y derecha .
El teorema de regularidad de Harish-Chandra establece que cualquier distribución propia invariante en un grupo semisimple o álgebra de Lie es una función localmente integrable. La condición de que sea una distribución propia se puede relajar ligeramente a la condición de que su imagen bajo el centro del álgebra envolvente universal sea de dimensión finita. El teorema de regularidad también implica que en cada subálgebra de Cartan la distribución se puede escribir como una suma finita de exponenciales dividida por una función Δ que se asemeja mucho al denominador de la fórmula de caracteres de Weyl .
Prueba
La demostración original de Harish-Chandra del teorema de la regularidad se da en una secuencia de cinco artículos (Harish-Chandra 1964a , 1964b , 1964c , 1965a , 1965b ). Atiyah (1988) dio una exposición de la demostración del teorema de regularidad de Harish-Chandra para el caso de SL 2 ( R ), y bosquejó su generalización a grupos de rango superior.
La mayoría de las pruebas se pueden dividir en varios pasos de la siguiente manera.
- Paso 1. Si Θ es un eigendistribution invariante entonces es analítica sobre los elementos regulares de G . Esto se sigue de la regularidad elíptica , al mostrar que el centro del álgebra envolvente universal tiene un elemento que es "elíptico transversal a una órbita de G" para cualquier órbita regular.
- Paso 2. Si Θ es un eigendistribution invariante entonces su restricción a los elementos regulares de G es integrable localmente en G . (Esto tiene sentido ya que los elementos no regulares de G tienen medida cero). Esto se sigue mostrando que ΔΘ en cada subálgebra de Cartan es una suma finita de exponenciales, donde Δ es esencialmente el denominador de la fórmula del denominador de Weyl, con 1 / Δ localmente integrable.
- Paso 3. Por los pasos 1 y 2, el invariante eigendistribution Θ es una suma S + F donde F es una función localmente integrable y S tiene soporte en los elementos singulares de G . El problema es mostrar que S desaparece. Esto se hace estratificando el conjunto de elementos singulares de G como una unión de subvariedades de G localmente cerradas y usando la inducción en la codimensión de los estratos. Si bien es posible que una función propia de una ecuación diferencial sea de la forma S + F con F localmente integrable y S con soporte singular en una subvariedad, esto solo es posible si el operador diferencial satisface algunas condiciones restrictivas. Entonces se puede comprobar que el operador de Casimir de G no satisface estas condiciones en los estratos del conjunto singular, lo que obliga a S a desaparecer.
Referencias
- Atiyah, Michael (1988), "Personajes de grupos de mentiras semi-simples", Obras completas. Vol. 4 , Publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, págs. 491–557, ISBN 978-0-19-853278-1, MR 0951895
- Harish-Chandra (1955), "Sobre los caracteres de un grupo de mentira semisimple", Boletín de la American Mathematical Society , 61 (5): 389–396, doi : 10.1090 / S0002-9904-1955-09935-X , ISSN 0002 -9904 , MR 0071715
- Harish-Chandra (1956), "Los caracteres de los grupos de mentiras semisimple", Transactions of the American Mathematical Society , 83 : 98–163, doi : 10.2307 / 1992907 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1992907 , MR 0080875
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- Harish-Chandra (1964b), "Operadores diferenciales invariantes y distribuciones en un álgebra de Lie semisimple", American Journal of Mathematics , 86 : 534–564, doi : 10.2307 / 2373023 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373023 , MR 0180628
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- Harish-Chandra (1978), "Distribuciones invariantes admisibles en grupos reductivos p-ádicos", en Rossmann, Wulf (ed.), Teorías de Lie y sus aplicaciones (actas del seminario anual de 1977 del congreso canadiense de matemáticas, Queen's University en Kingston , Ontario, 1977) , Queen's Papers in Pure Appl. Math., 48 , Kingston, Ontario: Queen's Univ., Págs. 281–347, MR 0579175 , reimpreso en el volumen 4 de sus obras completas.
- Harish-Chandra (1999), DeBacker, Stephen; Sally, Paul J. Jr. (eds.), Distribuciones invariantes admisibles en grupos reductivos p-ádicos , University Lecture Series, 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2025-4, MR 1702257