En matemáticas , la fórmula de caracteres de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de representaciones irreductibles de grupos de Lie compactos en términos de sus pesos más altos . [1] Se demostró por Hermann Weyl ( 1925 , 1926a , 1926b ). Existe una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreductible de un álgebra de Lie semisimple. [2] En el enfoque de Weyl a la teoría de la representación de grupos de Lie compactos conectados, la prueba de la fórmula del carácter es un paso clave para probar que cada elemento integral dominante surge realmente como el peso más alto de alguna representación irreductible. [3] Consecuencias importantes de la fórmula del carácter son la fórmula de dimensión de Weyl y la fórmula de multiplicidad de Kostant .
Por definición, el personaje de una representación de G es el rastro de, en función de un elemento de grupo . Las representaciones irreductibles en este caso son todas de dimensión finita (esto es parte del teorema de Peter-Weyl ); por lo que la noción de traza es la habitual del álgebra lineal. Conocimiento del personaje de da mucha información sobre sí mismo.
La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el personaje., en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie .
Declaración de la fórmula del carácter de Weyl
La fórmula del carácter se puede expresar en términos de representaciones de álgebras de Lie semisimples complejas o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos.
Álgebras de Lie semisimples complejas
Dejar ser una representación irreductible, de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple compleja . Suponeres una subálgebra de Cartan de. El carácter de es entonces la función definido por
El valor del personaje en es la dimensión de . Por consideraciones elementales, el carácter puede calcularse como
- ,
donde la suma varía entre todos los pesos de y donde es la multiplicidad de . (La expresión anterior a veces se toma como la definición del carácter).
La fórmula del carácter establece [4] que también se puede calcular como
dónde
- es el grupo Weyl ;
- es el conjunto de las raíces positivas del sistema de raíces ;
- es la mitad de la suma de las raíces positivas, a menudo llamado vector de Weyl ;
- es el mayor peso de la representación irreductible;
- es el determinante de la acción de sobre la subálgebra de Cartan . Esto es igual a, dónde es la longitud del elemento del grupo de Weyl , definida como el número mínimo de reflejos con respecto a raíces simples, de modo que es igual al producto de esos reflejos.
Discusión
Usando la fórmula del denominador de Weyl (descrita a continuación), la fórmula del carácter se puede reescribir como
- ,
o equivalente,
El personaje es en sí mismo una gran suma de exponenciales. En esta última expresión, luego multiplicamos el carácter por una suma alterna de exponenciales, lo que aparentemente resultará en una suma aún mayor de exponenciales. La parte sorprendente de la fórmula del carácter es que cuando calculamos este producto, solo queda una pequeña cantidad de términos. Muchos más términos que este ocurren al menos una vez en el producto del carácter y el denominador de Weyl, pero la mayoría de estos términos se cancelan a cero. [5] Los únicos términos que sobreviven son los que aparecen una sola vez, a saber (que se obtiene tomando el mayor peso de y el peso más alto del denominador de Weyl) y cosas en la órbita del grupo Weyl de .
Grupos de Compact Lie
Dejar Sea un grupo de Lie compacto y conectado y deje que ser un toro máximo en . Dejar ser una representación irreductible de . Luego definimos el carácter de ser la función
El carácter se ve fácilmente como una función de clase en y el teorema de Peter-Weyl afirma que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en. [6]
Desde es una función de clase, está determinada por su restricción a . Ahora para en el álgebra de Lie de , tenemos
- ,
dónde es la representación asociada del álgebra de Lie de . Por lo tanto, la función es simplemente el carácter de la representación asociada de , como se describe en la subsección anterior. La restricción del carácter de a entonces viene dada por la misma fórmula que en el caso del álgebra de Lie:
La prueba de Weyl de la fórmula del carácter en la configuración del grupo compacto es completamente diferente de la prueba algebraica de la fórmula del carácter en la configuración de álgebras de Lie semisimple. [7] En la configuración de grupo compacto, es común utilizar "raíces reales" y "pesos reales", que difieren en un factor dede las raíces y pesos utilizados aquí. Por lo tanto, la fórmula en la configuración de grupo compacto tiene factores de en todo el exponente.
El caso SU (2)
En el caso del grupo SU (2), considere la representación irreductible de dimensión. Si tomamospara ser el subgrupo diagonal de SU (2), la fórmula del carácter en este caso dice [8]
(Tanto el numerador como el denominador en la fórmula de caracteres tienen dos términos). Es instructivo verificar esta fórmula directamente en este caso, de modo que podamos observar el fenómeno de cancelación implícito en la fórmula de caracteres de Weyl.
Dado que las representaciones se conocen muy explícitamente, el carácter de la representación se puede escribir como
El denominador de Weyl, mientras tanto, es simplemente la función . Multiplicar el carácter por el denominador de Weyl da
Ahora podemos verificar fácilmente que la mayoría de los términos se cancelan entre los dos términos en el lado derecho de arriba, dejándonos con solo
así que eso
El personaje en este caso es una serie geométrica con y ese argumento anterior es una pequeña variante de la derivación estándar de la fórmula para la suma de una serie geométrica finita.
Fórmula del denominador de Weyl
En el caso especial de la representación trivial unidimensional, el carácter es 1, por lo que la fórmula del carácter de Weyl se convierte en la fórmula del denominador de Weyl : [9]
Para grupos unitarios especiales, esto es equivalente a la expresión
para el determinante de Vandermonde . [10]
Fórmula de dimensión de Weyl
Evaluando el personaje en , La fórmula del carácter de Weyl da la fórmula de la dimensión de Weyl
para la dimensión de una representación dimensional finita con mayor peso . (Como de costumbre, ρ es la mitad de la suma de las raíces positivas y los productos se ejecutan sobre las raíces positivas α.) La especialización no es completamente trivial, porque tanto el numerador como el denominador de la fórmula del carácter de Weyl se desvanecen en orden superior en el elemento de identidad por lo que es necesario tomar un límite de la traza de un elemento tendiente a la identidad, utilizando una versión de la regla de L'Hospital . [11] En el caso SU (2) descrito anteriormente, por ejemplo, podemos recuperar la dimensión de la representación utilizando la regla de L'Hospital para evaluar el límite como tiende a cero de .
Podemos considerar como ejemplo el álgebra de Lie compleja semisimple sl (3, C ), o equivalentemente el grupo compacto SU (3). En ese caso, las representaciones están etiquetadas por un parde enteros no negativos. En este caso, hay tres raíces positivas y no es difícil verificar que la fórmula de dimensión toma la forma explícita [12]
El caso es la representación estándar y, de hecho, la fórmula de dimensión da el valor 3 en este caso.
Fórmula de multiplicidad de Kostant
La fórmula del carácter de Weyl da el carácter de cada representación como un cociente, donde el numerador y el denominador son cada uno una combinación lineal finita de exponenciales. Si bien esta fórmula en principio determina el carácter, no es especialmente obvio cómo se puede calcular este cociente explícitamente como una suma finita de exponenciales. Ya en el caso SU (2) descrito anteriormente, no es inmediatamente obvio cómo pasar de la fórmula del carácter de Weyl, que da al carácter como volviendo a la fórmula para el carácter como una suma de exponenciales:
En este caso, quizás no sea muy difícil reconocer la expresión como la suma de una serie geométrica finita, pero en general necesitamos un procedimiento más sistemático.
En general, el proceso de división se puede lograr calculando un recíproco formal del denominador de Weyl y luego multiplicando el numerador en la fórmula del carácter de Weyl por este recíproco formal. [13] El resultado da el carácter como una suma finita de exponenciales. Los coeficientes de esta expansión son las dimensiones de los espacios de peso, es decir, las multiplicidades de los pesos. De este modo obtenemos de la fórmula de caracteres de Weyl una fórmula para las multiplicidades de los pesos, conocida como fórmula de multiplicidad de Kostant . En la siguiente sección se ofrece una fórmula alternativa, que es más manejable desde el punto de vista computacional en algunos casos.
Fórmula de Freudenthal
La fórmula de Hans Freudenthal es una fórmula recursiva para las multiplicidades de peso que da la misma respuesta que la fórmula de multiplicidad de Kostant, pero a veces es más fácil de usar para los cálculos ya que puede haber muchos menos términos para sumar. La fórmula se basa en el uso del elemento Casimir y su derivación es independiente de la fórmula del carácter. Dice [14]
dónde
- Λ es un peso más alto,
- λ es algún otro peso,
- m Λ (λ) es la multiplicidad del peso λ en la representación irreducible V Λ
- ρ es el vector de Weyl
- La primera suma es sobre todas las raíces positivas α.
Fórmula de caracteres de Weyl – Kac
La fórmula del carácter de Weyl también es válida para las representaciones integrables de mayor peso de las álgebras de Kac-Moody , cuando se conoce como la fórmula del carácter de Weyl-Kac . De manera similar, existe una identidad de denominador para las álgebras de Kac-Moody , que en el caso de las álgebras de Lie afines es equivalente a las identidades de Macdonald . En el caso más simple del álgebra de Lie afín de tipo A 1, esta es la identidad del producto triple de Jacobi
La fórmula del carácter también puede extenderse a representaciones integrables de mayor peso de álgebras de Kac-Moody generalizadas , cuando el carácter está dado por
Aquí S es un término de corrección dado en términos de raíces simples imaginarias por
donde la suma corre sobre todos los subconjuntos finitos I de las raíces simples imaginarias que son por pares ortogonales y ortogonales al peso más alto λ, y | I | es la cardinalidad de Σ I y I es la suma de los elementos de la I .
La fórmula del denominador para el álgebra de los monstruos de Lie es la fórmula del producto
para la función modular elíptica j .
Peterson dio una fórmula de recursividad para las multiplicidades mult (β) de las raíces β de un álgebra Kac-Moody simétrizable (generalizada), que es equivalente a la fórmula del denominador de Weyl-Kac, pero más fácil de usar para los cálculos:
donde la suma está sobre las raíces positivas γ, δ y
Fórmula del personaje Harish-Chandra
Harish-Chandra demostró que la fórmula del carácter de Weyl admite una generalización a las representaciones de un grupo reductivo real . Suponeres una representación irreductible y admisible de un grupo reductivo real G con carácter infinitesimal . Dejarser el personaje Harish-Chandra de; se da por integración frente a una función analítica en el conjunto regular. Si H es un subgrupo de Cartan de G y H 'es el conjunto de elementos regulares en H, entonces
Aquí
- W es el complejo grupo de Weyl de con respecto a
- es el estabilizador de en W
y el resto de la notación es como arriba.
Los coeficientes todavía no se entienden bien. Los resultados de estos coeficientes se pueden encontrar en artículos de Herb , Adams, Schmid y Schmid-Vilonen, entre otros.
Ver también
- Teoría del carácter
- Carácter algebraico
- Fórmula de carácter demazure
- Fórmula de integración de Weyl
Referencias
- ^ Salón 2015 Sección 12.4.
- ^ Salón 2015 Sección 10.4.
- ^ Salón 2015 Sección 12.5.
- ^ Teorema de Hall 2015 10.14
- ^ Salón 2015 Sección 10.4.
- ^ Salón 2015 Sección 12.3
- ^ Ver Hall 2015 Sección 10.8 en la configuración de álgebra de Lie y la Sección 12.4 en la configuración de grupo compacto
- ^ Ejemplo de Hall 2015 12.23
- ↑ Hall 2015 Lemma 10.28.
- ^ Salón 2015 ejercicio 9 en el capítulo 10.
- ^ Salón 2015 Sección 10.5.
- ^ Hall 2015 Ejemplo 10.23
- ^ Salón 2015 Sección 10.6
- ^ Humphreys 1972 Sección 22.3
- Fulton, William y Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954 . OCLC 22861245. [1]
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
- Álgebras de Lie de dimensión infinita , VG Kac, ISBN 0-521-37215-1
- Duncan J. Melville (2001) [1994], "Fórmula del carácter de Weyl-Kac" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 23 : 271–309, doi : 10.1007 / BF01506234 , ISSN 0025-5874
- Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 328–376, doi : 10.1007 / BF01216788 , ISSN 0025-5874
- Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 24 : 377–395, doi : 10.1007 / BF01216789 , ISSN 0025-5874
- ^ Fulton, William, 1939- (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Harris, Joe, 1951-. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC 22861245 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )