En matemáticas , una función localmente integrable (a veces también llamada función localmente sumable ) [1] es una función que es integrable (por lo que su integral es finita) en cada subconjunto compacto de su dominio de definición . La importancia de tales funciones radica en el hecho de que su espacio funcional es similar a los espacios L p, pero sus miembros no están obligados a satisfacer ninguna restricción de crecimiento en su comportamiento en el límite de su dominio (en el infinito si el dominio es ilimitado): en otras palabras, las funciones integrables localmente pueden crecer arbitrariamente rápido en el límite del dominio, pero todavía son manejable de una manera similar a las funciones integrables ordinarias.
Definición
Definición estándar
Definición 1 . [2] Let Ω ser un conjunto abierto en el espacio euclidiano ℝ n y f : Ω → ℂ ser un Lebesgue función medible . Si f en Ω es tal que
es decir, su integral de Lebesgue es finita en todos los subconjuntos compactos K de Ω , [3] entonces f se llama localmente integrable . El conjunto de todas estas funciones se denota por L 1, loc (Ω) :
dónde denota la restricción de f al conjunto K .
La definición clásica de una función localmente integrable implica solo conceptos teóricos y topológicos de medida [4] y puede trasladarse de forma abstracta a funciones con valores complejos en un espacio de medida topológico ( X , Σ, μ ) : [5] sin embargo, ya que la mayoría La aplicación común de tales funciones es a la teoría de la distribución en espacios euclidianos, [2] todas las definiciones en esta y las siguientes secciones tratan explícitamente sólo con este caso importante.
Una definición alternativa
Definición 2 . [6] Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano ℝ n . Entonces una función f : Ω → ℂ tal que
para cada función de prueba φ ∈ C ∞
c (Ω) se llama localmente integrable , y el conjunto de tales funciones se denota por L 1, loc (Ω) . Aquí C ∞
c (Ω) denota el conjunto de todas las funciones infinitamente diferenciables φ : Ω → ℝ con soporte compacto contenido en Ω .
Esta definición tiene sus raíces en el enfoque de la teoría de la medida e integración basado en el concepto de funcional lineal continuo sobre un espacio vectorial topológico , desarrollado por la escuela de Nicolas Bourbaki : [7] es también el adoptado por Strichartz (2003) y por Maz'ya y Shaposhnikova (2009 , p. 34). [8] Esta definición de "teoría de la distribución" es equivalente a la estándar, como lo demuestra el siguiente lema:
Lema 1 . Una función dada f : Ω → ℂ es localmente integrable según la Definición 1 si y solo si es localmente integrable según la Definición 2 , es decir
Generalización: funciones integrables localmente p
Definición 3 . [10] Let Ω ser un conjunto abierto en el espacio euclidiano ℝ n y f : → Ω ℂ ser un Lebesgue función medible. Si, para una p dada con 1 ≤ p ≤ + ∞ , f satisface
es decir, pertenece a L p ( K ) para todos los subconjuntos compactos K de Ω , entonces f se llama localmente p - integrable o también p - localmente integrable . [10] El conjunto de todas estas funciones se denota por L p , loc (Ω) :
También se puede dar una definición alternativa, completamente análoga a la dada para funciones integrables localmente, para funciones integrables localmente p : también puede ser y probarse equivalente a la de esta sección. [11] A pesar de su aparente mayor generalidad, las funciones integrables localmente p forman un subconjunto de funciones integrables localmente para cada p tal que 1 < p ≤ + ∞ . [12]
Notación
Aparte de los diferentes glifos que pueden usarse para la "L" mayúscula, [13] existen pocas variantes para la notación del conjunto de funciones integrables localmente
- adoptado por ( Hörmander 1990 , p. 37), ( Strichartz 2003 , pp. 12-13) y ( Vladimirov 2002 , p. 3).
- adoptado por ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 4) y Maz'ya & Shaposhnikova (2009 , p. 44).
- adoptado por ( Maz'ja 1985 , p. 6) y ( Maz'ya 2011 , p. 2).
Propiedades
L p , loc es un espacio métrico completo para todo p ≥ 1
Teorema 1 . [14] L p , loc es un espacio metrizable completo : su topología se puede generar mediante la siguiente métrica :
donde { ω k } k ≥1 es una familia de conjuntos abiertos no vacíos tal que
- ω k ⊂⊂ ω k +1 , lo que significa que ω k está estrictamente incluido en ω k +1, es decir, es un conjunto que tiene un cierre compacto estrictamente incluido en el conjunto de índice más alto.
- ∪ k ω k = Ω .
- , k ∈ ℕ es una familia indexada de seminormas , definida como
En referencias ( Gilbarg y Trudinger 1998 , p. 147)
, ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5), ( Maz'ja 1985 , p. 6) y ( Maz'ya 2011 , p. 2), este teorema se establece pero no se prueba de manera formal: [15 ] una prueba completa de un resultado más general, que lo incluye, se encuentra en ( Meise & Vogt 1997 , p. 40).L p es un subespacio de L 1, loc para todo p ≥ 1
Teorema 2 . Toda función f perteneciente a L p (Ω) , 1 ≤ p ≤ + ∞ , donde Ω es un subconjunto abierto de ℝ n , es localmente integrable.
Prueba . El caso p = 1 es trivial, por lo que en la secuela de la demostración se asume que 1 < p ≤ + ∞ . Considere la función característica χ K de un subconjunto compacto K de Ω : entonces, para p ≤ + ∞ ,
dónde
- q es un número positivo tal que 1 / p + 1 / q = 1 para un 1 dado ≤ p ≤ + ∞
- | K | es la medida de Lebesgue del conjunto compacto K
Entonces, para cualquier f perteneciente a L p (Ω) , por la desigualdad de Hölder , el producto fχ K es integrable, es decir, pertenece a L 1 (Ω) y
por lo tanto
Tenga en cuenta que dado que la siguiente desigualdad es verdadera
el teorema es cierto también para funciones f que pertenecen solo al espacio de funciones localmente p -integrables, por lo tanto, el teorema implica también el siguiente resultado.
Corolario 1 . Cada función en , , es localmente integrable, es decir, pertenece a .
Nota: sies un subconjunto abierto de que también está acotado, entonces uno tiene la inclusión estándar lo cual tiene sentido dada la inclusión anterior . Pero la primera de estas afirmaciones no es cierta sino está acotado; entonces sigue siendo cierto que para cualquier pero no eso . Para ver esto, normalmente se considera la función, Qué esta en pero no en para cualquier finito .
L 1, loc es el espacio de densidades de medidas absolutamente continuas
Teorema 3 . Una función f es la densidad de una medida absolutamente continua si y solo si.
La prueba de este resultado está esbozada por ( Schwartz 1998 , p. 18). Reformulando su enunciado, este teorema afirma que toda función localmente integrable define una medida absolutamente continua y, a la inversa, que toda medida absolutamente continua define una función localmente integrable: esta es también, en el marco de la teoría de medidas abstractas, la forma del importante teorema Radon-Nikodym dada por Stanisław Saks en su tratado. [dieciséis]
Ejemplos de
- La función constante 1 definida en la línea real es localmente integrable pero no globalmente integrable ya que la línea real tiene una medida infinita. De manera más general, las constantes , las funciones continuas [17] y las funciones integrables son localmente integrables. [18]
- La función para x ∈ (0, 1) es localmente pero no globalmente integrable en (0, 1). Es localmente integrable ya que cualquier conjunto compacto K ⊆ (0, 1) tiene una distancia positiva de 0 y, por lo tanto, f está limitada a K. Este ejemplo respalda la afirmación inicial de que las funciones localmente integrables no requieren la satisfacción de las condiciones de crecimiento cerca del límite en dominios delimitados.
- La función
- no es localmente integrable en x = 0 : de hecho es localmente integrable cerca de este punto ya que su integral sobre cada conjunto compacto sin incluirlo es finito. Hablando formalmente, 1 / x ∈ L 1, loc (ℝ \ 0): [19] sin embargo, esta función puede extenderse a una distribución en el conjunto ℝ como un valor principal de Cauchy . [20]
- El ejemplo anterior plantea una pregunta: ¿toda función que es localmente integrable en Ω ⊊ ℝ admite una extensión del todo ℝ como distribución? La respuesta es negativa y la siguiente función proporciona un contraejemplo:
- no define ninguna distribución en ℝ. [21]
- El siguiente ejemplo, similar al anterior, es una función perteneciente a L 1, loc (ℝ \ 0) que sirve como contraejemplo elemental en la aplicación de la teoría de distribuciones a operadores diferenciales con coeficientes singulares irregulares :
- donde k 1 y k 2 son constantes complejas , es una solución general de la siguiente ecuación diferencial elemental no fucsiana de primer orden
- Nuevamente, no define ninguna distribución en el conjunto ℝ, si k 1 o k 2 no son cero: la única solución distribucional global de dicha ecuación es, por lo tanto, la distribución cero, y esto muestra cómo, en esta rama de la teoría de ecuaciones diferenciales , no se puede esperar que los métodos de la teoría de distribuciones tengan el mismo éxito logrado en otras ramas de la misma teoría, especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. [22]
Aplicaciones
Las funciones integrables localmente juegan un papel prominente en la teoría de la distribución y ocurren en la definición de varias clases de funciones y espacios funcionales , como funciones de variación limitada . Además, aparecen en el teorema Radon-Nikodym al caracterizar la parte absolutamente continua de cada medida.
Ver también
- Conjunto compacto
- Distribución (matemáticas)
- Teorema de la densidad de Lebesgue
- Teorema de diferenciación de Lebesgue
- Integral de Lebesgue
- Espacio LP
Notas
- ^ Según Gel'fand y Shilov (1964 , p. 3).
- ↑ a b Ver, por ejemplo ( Schwartz 1998 , p. 18) y ( Vladimirov 2002 , p. 3).
- ^ Otra ligera variante de esta definición, elegida por Vladimirov (2002 , p. 1), es requerir solo que K ⋐ Ω (o, usando la notación de Gilbarg & Trudinger (2001 , p. 9), K ⊂⊂ Ω ) , lo que significa que K está estrictamente incluido en Ω, es decir, es un conjunto que tiene un cierre compacto estrictamente incluido en el conjunto ambiental dado.
- ^ La noción de compacidad obviamente debe definirse en el espacio de medida abstracto dado.
- ↑ Este es el enfoque desarrollado, por ejemplo, por Cafiero (1959 , págs. 285–342) y por Saks (1937 , capítulo I), sin abordar explícitamente el caso integrable localmente.
- ^ Véase, por ejemplo, ( Strichartz 2003 , págs. 12-13).
- ↑ Este enfoque fue elogiado por Schwartz (1998 , págs. 16-17), quien destacó también su utilidad, pero utilizando la Definición 1 para definir funciones integrables localmente.
- ^ Nótese que Maz'ya y Shaposhnikova definen explícitamente sólo la versión "localizada" del espacio de Sobolev W k , p (Ω) , sin embargo, afirman explícitamente que se usa el mismo método para definir versiones localizadas de todos los demás espacios de Banach usados en el libro citado: en particular, L p , loc (Ω) se introduce en la página 44.
- ^ No confundir con la distancia de Hausdorff .
- ↑ a b Ver, por ejemplo, ( Vladimirov 2002 , p. 3) y ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 4).
- ↑ Como se comentó en la sección anterior, este es el enfoque adoptado por Maz'ya & Shaposhnikova (2009) , sin desarrollar los detalles elementales.
- ^ Precisamente, forman un subespacio vectorial de L 1, loc (Ω) : ver Corolario 1 al Teorema 2 .
- ^ Ver, por ejemplo ( Vladimirov 2002 , p. 3), dondese usaun ℒ caligráfico.
- ^ Ver ( Gilbarg y Trudinger 1998 , p. 147) , ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5) para una declaración de estos resultados, y también las breves notas en ( Maz'ja 1985 , p. 6) y ( Maz'ya 2011 , p. 2).
- ^ Gilbarg y Trudinger (1998 , p. 147) y Maz'ya & Poborchi (1997 , p. 5) solo esbozan muy brevemente el método de prueba, mientras que en ( Maz'ja 1985 , p. 6) y ( Maz'ya 2011 , p. 2) se asume como un resultado conocido, a partir del cual comienza el desarrollo posterior.
- ↑ Según Saks (1937 , p. 36), " Si E es un conjunto de medida finita o, más generalmente, la suma de una secuencia de conjuntos de medida finita ( μ ) , entonces, para que una función aditiva de un el conjunto ( 𝔛 ) sobre E sea absolutamente continuo sobre E , es necesario y suficiente que esta función de un conjunto sea la integral indefinida de alguna función integrable de un punto de E ". Suponiendo que ( μ ) sea la medida de Lebesgue, se puede considerar que las dos afirmaciones son equivalentes.
- ^ Ver, por ejemplo ( Hörmander 1990 , p. 37).
- ^ Ver ( Strichartz 2003 , p. 12).
- ^ Ver ( Schwartz 1998 , p. 19).
- ^ Véase ( Vladimirov 2002 , págs. 19-21).
- ^ Ver ( Vladimirov 2002 , p. 21).
- ^ Para una breve discusión de este ejemplo, vea ( Schwartz 1998 , pp. 131-132).
Referencias
- Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione , Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), 5 , Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII + 451, MR 0215954 , Zbl 0171.01503. Measure and integration (como dice la traducción al inglés del título) es una monografía definitiva sobre la teoría de la integración y la medida: el tratamiento del comportamiento limitante de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con la medida (funciones medibles , conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
- Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1964) [1958], Funciones generalizadas. Vol. I: Propiedades y operaciones , Nueva York – Londres: Academic Press , págs. Xviii + 423, ISBN 978-0-12-279501-5, MR 0166596 , Zbl 0.115,33101. Traducido de la edición rusa original de 1958 por Eugene Saletan, esta es una importante monografía sobre la teoría de funciones generalizadas , que trata tanto de distribuciones como de funcionales analíticos.
- Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Classics in Mathematics (3ª edición revisada de la 2ª ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York: Springer Verlag , págs. Xiv + 517, ISBN 3-540-41160-7, MR 1814364 , Zbl 1042.35002.
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- Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral , Monografie Matematyczne , 7 (2a ed.), Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI + 347, JFM 63.0183.05 , MR 0167578 , Zbl 0017.30004. Traducción al inglés de Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach : el número de Mathematical Reviews se refiere a la edición de Dover Publications 1964, que es básicamente una reimpresión.
- Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions , Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (en francés), No. IX – X (Nouvelle ed.), París: Hermann Éditeurs, págs. xiii + 420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834 , Zbl 0.149,09501.
- Strichartz, Robert S. (2003), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (segunda edición de la impresión), River Edge, NJ : World Scientific Publishers , págs. X + 226, ISBN 981-238-430-8, Señor 2000535 , Zbl 1029.46039.
- Vladimirov, VS (2002), Métodos de la teoría de funciones generalizadas , Métodos analíticos y funciones especiales, 6 , Londres – Nueva York: Taylor & Francis , págs. XII + 353, ISBN 0-415-27356-0, Señor 2012831 , Zbl 1078.46029. Una monografía sobre la teoría de funciones generalizadas redactada con miras a sus aplicaciones a varias variables complejas y a la física matemática , como es habitual en el autor.
enlaces externos
- Rowland, Todd. "Integrable localmente" . MathWorld .
- Vinogradova, IA (2001) [1994], "Función localmente integrable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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