Módulo Harish-Chandra

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En matemáticas , específicamente en la teoría de representación de grupos de Lie , un módulo Harish-Chandra , llamado así por el matemático y físico indio Harish-Chandra , es una representación de un grupo de Lie real , asociado a una representación general, con condiciones de regularidad y finitud. Cuando la representación asociada es un módulo, entonces su módulo Harish-Chandra es una representación con propiedades de factorización deseables.${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$

Deje G un grupo de Lie y K un compacto subgrupo de G . Si es una representación de G , entonces el módulo de Harish-Chandra de es el subespacio X de V que consta de los K-finito vectores suaves en V . Esto significa que X incluye exactamente esos vectores v tales que el mapa a través de${\ Displaystyle (\ pi, V)}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ varphi _ {v}: G \ longrightarrow V}$

En 1973, Lepowsky demostró que cualquier módulo X irreductible es isomorfo al módulo Harish-Chandra de una representación irreducible de G en un espacio de Hilbert . Tales representaciones son admisibles , lo que significa que se descomponen de una manera análoga a la factorización prima de números enteros. (¡Por supuesto, la descomposición puede tener infinitos factores distintos!) Además, un resultado de Harish-Chandra indica que si G es un grupo de Lie reductor con un subgrupo compacto máximo K , y X es un módulo- irreducible con una forma hermitiana definida positiva satisfactorio ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}$

para todos y , a continuación, X es el módulo Harish-Chandra de una representación unitaria irreducible única de  G .${\ Displaystyle Y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle k \ in K}$

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