El problema de Hermite es un problema abierto en matemáticas planteado por Charles Hermite en 1848. Pidió una forma de expresar números reales como secuencias de números naturales , de modo que la secuencia sea eventualmente periódica precisamente cuando el número original es un irracional cúbico .
Motivación
Una forma estándar de escribir números reales es mediante su representación decimal , como:
donde un 0 es un número entero , la parte entera de x , y un 1 , un 2 , un 3 ,… son números enteros entre 0 y 9. Dada esta representación, el número x es igual a
El número real x es un número racional solo si su expansión decimal es eventualmente periódica, es decir, si hay números naturales N y p tales que para cada n ≥ N se da el caso de que a n + p = a n .
Otra forma de expresar números es escribirlos como fracciones continuas , como en:
donde un 0 es un número entero y un 1 , un 2 , un 3 … son números naturales. De esta representación podemos recuperar x ya que
Si x es un número racional, entonces la secuencia ( a n ) termina después de un número finito de términos. Por otro lado, Euler demostró que los números irracionales requieren una secuencia infinita para expresarlos como fracciones continuas. [1] Además, esta secuencia es eventualmente periódica (nuevamente, de modo que hay números naturales N y p tales que para cada n ≥ N tenemos un n + p = un n ), si y solo si x es un irracional cuadrático .
La pregunta de hermite
Los números racionales son números algebraicos que satisfacen una polinomio de grado 1, mientras que los irracionales cuadráticos son números algebraicos que satisfacen un polinomio de grado 2. Por estas dos conjuntos de números tenemos una manera de construir una secuencia de números naturales ( un n ) con el propiedad de que cada secuencia da un número real único y tal que este número real pertenece al conjunto correspondiente si y solo si la secuencia es eventualmente periódica.
En 1848, Charles Hermite escribió una carta a Carl Gustav Jacob Jacobi preguntándole si esta situación podría generalizarse, es decir, si se puede asignar una secuencia de números naturales a cada número real x de manera que la secuencia sea eventualmente periódica precisamente cuando x es un cúbico irracional, que es un número algebraico de grado 3? [2] [3] O, de manera más general, para cada número natural d, ¿hay alguna forma de asignar una secuencia de números naturales a cada número real x que pueda identificar cuándo x es algebraico de grado d ?
Enfoques
Las secuencias que intentan resolver el problema de Hermite a menudo se denominan fracciones continuas multidimensionales . El propio Jacobi propuso un ejemplo temprano, encontrando una secuencia correspondiente a cada par de números reales ( x , y ) que actuaba como un análogo dimensional superior de fracciones continuas. [4] Esperaba mostrar que la secuencia adjunta a ( x , y ) eventualmente era periódica si y solo si tanto x como y pertenecían a un campo numérico cúbico , pero no pudo hacerlo y si este es el caso sigue sin resolverse.
En 2015, por primera vez, se ha proporcionado una representación periódica de cualquier irracional cúbico mediante fracciones continuas ternarias, es decir, se ha resuelto el problema de escribir irracionales cúbicos como una secuencia periódica de números racionales o enteros. Sin embargo, la representación periódica no se deriva de un algoritmo definido sobre todos los números reales y se deriva solo a partir del conocimiento del polinomio mínimo del irracional cúbico. [5]
En lugar de generalizar fracciones continuas, otro enfoque del problema es generalizar la función del signo de interrogación de Minkowski . Esta función ? : [0, 1] → [0, 1] también selecciona números irracionales cuadráticos ya que? ( X ) es racional si y solo si x es racional o un número irracional cuadrático, y además x es racional si y solo si? ( x ) es un racional diádico , por lo que x es un irracional cuadrático precisamente cuando? ( x ) es un número racional no diádico. Se han hecho varias generalizaciones de esta función al cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] o al simplex bidimensional , aunque ninguna ha resuelto todavía el problema de Hermite. [6] [7]
Referencias
- ^ "E101 - Introductio in analysin infinitorum, volumen 1" . Consultado el 16 de marzo de 2008 .
- ↑ Émile Picard, L'œuvre scientifique de Charles Hermite , Ann. Sci. Norma de la École. Sorber. 3 18 (1901), págs. 9–34.
- ^ Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi sur différents objects de la théorie des nombres. (Continuación). , Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), págs. 279–315, doi : 10.1515 / crll.1850.40.279
- ^ CGJ Jacobi, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen, in welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (Inglés: teoría general de algoritmos similares a fracciones continuas en los que cada número se forma a partir de tres anteriores ), Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), págs. 29–64.
- ^ Nadir Murru, Sobre la escritura periódica de irracionales cúbicos y una generalización de funciones Rédei , Int. J. Teoría de números 11 (2015), no. 3, págs. 779-799, doi: 10.1142 / S1793042115500438
- ↑ L. Kollros, Un Algorithme pour l'approximation simultanée de Deux Granduers , Disertación inaugural, Universität Zürich, 1905.
- ^ Olga R. Beaver, Thomas Garrity, ¿ Una función bidimensional de Minkowski? (X) , J. Teoría de números 107 (2004), no. 1, págs. 105-134.