En matemáticas, un racional diádico es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos . Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas ; también tienen aplicaciones en pesos y medidas y en compases musicales.
Aritmética
La suma , el producto o la diferencia de dos racionales diádicos cualesquiera es en sí mismo otro racional diádico:
Propiedades adicionales
Debido a que están cerradas bajo suma, resta y multiplicación, pero no división, las fracciones diádicas son un anillo pero no un campo . Como anillo, las fracciones diádicas son un subanillo de los números racionales y un subanillo de los enteros. Algebraicamente, este subanillo es la localización de los enteros con respecto al conjunto de potencias de dos .
El conjunto de todas las fracciones diádicas es denso en la línea real : cualquier número real puede aproximarse arbitrariamente de cerca mediante racionales diádicos de la forma . En comparación con otros subconjuntos densos de la línea real, como los números racionales, los racionales diádicos son en cierto sentido un conjunto denso relativamente "pequeño", razón por la cual a veces aparecen en las demostraciones. (Véase, por ejemplo, el lema de Urysohn para los racionales diádicos).
Las fracciones diádicas son precisamente aquellos números que poseen expansiones binarias finitas . Sus expansiones binarias no son únicas; hay una representación finita y una infinita de cada racional diádico diferente de 0 (ignorando los ceros terminales). Por ejemplo, 0.1 2 = 0.0111 ... 2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = 1/2. Además, 0.11 2 = 0.10111 ... 2 = 3/4.
La adición módulo 1 forma un grupo; este es el grupo Prüfer 2 . (Esto es lo mismo que tomar el grupo de cocientes de los racionales diádicos por los números enteros).
Grupo dual
Considerar solo las operaciones de suma y resta de los racionales diádicos les da la estructura de un grupo abeliano aditivo . El grupo dual de un grupo consta de sus caracteres , homomorfismos de grupo con el grupo multiplicativo de los números complejos y, en el espíritu de la dualidad de Pontryagin, el grupo dual de los racionales diádicos aditivos también puede verse como un grupo topológico . Se llama solenoide diádico y es un ejemplo de grupo solenoide y de protocolar .
Los racionales diádicos son el límite directo de infinitos subgrupos cíclicos de los números racionales,
Un elemento del solenoide diádico se puede representar como una secuencia infinita de números complejos , con las propiedades que cada se encuentra en el círculo unitario y que, para todos , . La operación de grupo en estos elementos multiplica dos secuencias cualesquiera en componentes. Cada elemento del solenoide diádico corresponde a un carácter de los racionales diádicos que mapea al número complejo . Por el contrario, cada personaje de los racionales diádicos corresponde al elemento del solenoide diádico dado por .
Como espacio topológico, el solenoide diádico es un solenoide y un continuo indecomposible . [1]
Construcciones relacionadas
Así como los números racionales diádicos son los números con representaciones binarias finitas, los decimales terminales son los números con representaciones decimales finitas . La misma construcción se puede aplicar en cualquier base . Cuando la base es un número primo , el conjunto de números correspondiente se llama -fracciones ádicas o Racionales -ádicos, y comparten muchas propiedades y fórmulas con los racionales diádicos.
Los números surrealistas se generan mediante un principio de construcción iterado que comienza generando todas las fracciones diádicas finitas, y luego continúa creando nuevos y extraños tipos de infinitos, infinitesimales y otros números.
La secuencia binaria de van der Corput es una permutación equidistribuida de los números racionales diádicos positivos.
Aplicaciones
En metrología
La pulgada se subdivide habitualmente en fracciones diádicas en lugar de decimales; De manera similar, las divisiones habituales del galón en medio galón, cuarto de galón y pintas son diádicas. Los antiguos egipcios también usaban fracciones diádicas en la medición, con denominadores de hasta 64. [2]
En musica
Las firmas de tiempo en la notación musical occidental consisten tradicionalmente en fracciones diádicas (por ejemplo: 2/2, 4/4, 6/8 ...), aunque los compositores han introducido firmas de tiempo no diádicas en el siglo XX (por ejemplo: 2 /. , Lo que literalmente 2 media / 3 / 8 ). Las firmas de tiempo no diádicas se denominan irracionales en terminología musical, pero este uso no corresponde a los números irracionales de las matemáticas, porque todavía consisten en proporciones de números enteros. Compases irracionales en el sentido matemático son muy raros, pero un ejemplo ( √ 42 /1) aparece en Conlon Nancarrow 's Estudios para piano de jugador .
En informática
Como tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de punto flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos y, por lo tanto, todos los números que pueden representarse, por ejemplo, mediante tipos de datos de punto flotante IEEE binarios son racionales diádicos. Lo mismo es cierto para la mayoría de los tipos de datos de coma fija , que también usa poderes de dos implícitamente en la mayoría de los casos.
Topología
En topología general , las fracciones diádicas se pueden utilizar en la demostración del lema de Urysohn , que se considera comúnmente uno de los teoremas más importantes de la topología.
Ver también
- Medio entero , un racional diádico formado al dividir un número impar por dos
- número p -ádico , un sistema numérico que extiende losracionales p -ádicos
- Fracciones decimales o racionales 10-ádicos
Referencias
- ^ Nadler, SB Jr. (1973), "La indecomponibilidad del solenoide diádico", American Mathematical Monthly , 80 (6): 677–679, doi : 10.2307 / 2319174 , JSTOR 2319174.
- ^ Curtis, Lorenzo J. (1978), "Concepto de la ley exponencial antes de 1900", American Journal of Physics , 46 (9): 896–906, doi : 10.1119 / 1.11512.