En álgebra , el término anillo de Hermite (después de Charles Hermite ) se ha aplicado a tres objetos diferentes.
Según Kaplansky (1949) (p. 465), un anillo es Hermite derecho si, por cada dos elementos a y b del anillo, hay un elemento d del anillo y un 2 por 2 matriz invertible M sobre el anillo tales que (ab) M = (d 0) . (El término Hermite izquierdo se define de manera similar.) Las matrices sobre un anillo de este tipo se pueden poner en la forma normal de Hermite mediante la multiplicación a la derecha por una matriz cuadrada invertible ( Kaplansky (1949) , p. 468.) Lam (2006) (apéndice de §I .4) llama a esta propiedad K-Hermite , usando Hermite en cambio, en el sentido que se da a continuación.
Según Lam (1978) (§I.4, p. 26), un anillo es correcto Hermite si cualquier módulo derecho libre establemente generado finitamente sobre el anillo es libre. Esto es equivalente a requerir que cualquier vector fila (b 1 , ..., b n ) de elementos del anillo que lo generan como un módulo correcto (es decir, b 1 R + ... + b n R = R ) puede ser completado a una matriz invertible (no necesariamente cuadrada) agregando cierto número de filas. (El criterio de ser dejado Hermite se puede definir de manera similar.) Lissner (1965) (p. 528) anterior llamado un anillo conmutativo con esta propiedad un anillo H .
De acuerdo con Cohn (2006) (§0.4), un anillo es Hermite si, además de que cada módulo libre estable (izquierda) sea gratis, tiene IBN .
Todos los anillos conmutativos que son Hermite en el sentido de Kaplansky son también Hermite en el sentido de Lam, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Todos los dominios de Bézout son Hermite en el sentido de Kaplansky, y un anillo conmutativo que es Hermite en el sentido de Kaplansky es también un anillo de Bézout ( Lam (2006) , págs. 39-40).
La conjetura del anillo de Hermite , introducida por Lam (1978) (p. Xi), establece que si R es un anillo de Hermite conmutativo, entonces R [ x ] es un anillo de Hermite.
Referencias
- Cohn, PM (2000), "From Hermite rings to Sylvester domains", Proceedings of the American Mathematical Society , 128 (7): 1899-1904, doi : 10.1090 / S0002-9939-99-05189-8 , ISSN 0002-9939 , MR 1646314
- Cohn, PM (2006), Anillos ideales libres y localización en anillos generales , Cambridge University Press, ISBN 9780521853378
- Kaplansky, Irving (1949), "Divisores y módulos elementales", Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 464–491, doi : 10.2307 / 1990591 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990591 , MR 0031470
- Lam, TY (1978), Conjetura de Serre , Lecture Notes in Mathematics, 635 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068340 , ISBN 978-3-540-08657-4, MR 0485842
- Lam, TY (2006), Problema de Serre sobre módulos proyectivos , Monografías de Springer en matemáticas, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-34575-6 , ISBN 978-3-540-23317-6
- Lissner, David (1965), "Outer product rings", Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 526–535, doi : 10.2307 / 1994132 , ISSN 0002-9947 , MR 0186687