En matemáticas , un dominio de Bézout es una forma de dominio de Prüfer . Es un dominio integral en el que la suma de dos ideales principales es nuevamente un ideal principal. Esto significa que para cada par de elementos se mantiene una identidad Bézout , y que todo ideal finitamente generado es principal. Cualquier dominio ideal principal (PID) es un dominio Bézout, pero un dominio Bézout no necesita ser un anillo noetheriano , por lo que podría tener ideales no generados de forma finita (lo que obviamente excluye ser un PID); si es así, no es un dominio de factorización único (UFD), pero sigue siendo un dominio GCD. La teoría de los dominios de Bézout conserva muchas de las propiedades de los PID, sin requerir la propiedad noetheriana. Los dominios de Bézout llevan el nombre del matemático francés Étienne Bézout .
Ejemplos de
- Todos los PID son dominios Bézout.
- Ejemplos de dominios de Bézout que no son PID incluyen el anillo de funciones completas (funciones holomórficas en todo el plano complejo) y el anillo de todos los números enteros algebraicos . [1] En el caso de funciones completas, los únicos elementos irreducibles son funciones asociadas a una función polinomial de grado 1, por lo que un elemento tiene una factorización solo si tiene un número finito de ceros. En el caso de los enteros algebraicos no hay elementos irreductibles en absoluto, ya que para cualquier entero algebraico su raíz cuadrada (por ejemplo) es también un entero algebraico. Esto muestra en ambos casos que el anillo no es un UFD y, por lo tanto, ciertamente no es un PID.
- Los anillos de valoración son dominios Bézout. Cualquier anillo de valoración no noetheriano es un ejemplo de un dominio Bézout no noetheriano.
- La siguiente construcción general produce un dominio S de Bézout que no es un UFD de ningún dominio R de Bézout que no sea un campo, por ejemplo, de un PID; el caso R = Z es el ejemplo básico a tener en cuenta. Deje que F sea el campo de las fracciones de R , y puso S = R + XF [ X ] , el subanillo de polinomios en F [ X ] con término constante en R . Este anillo no es noetheriano, ya que un elemento como X con término constante cero puede ser dividido indefinidamente por elementos no invertibles de R , que aún son no invertibles en S , y el ideal generado por todos estos cocientes de no se genera finitamente (por lo que X tiene sin factorización en S ). Se muestra de la siguiente manera que S es un dominio de Bézout.
- Es suficiente para demostrar que para cada par una , b en S existen s , t en S tal que como + bt divide tanto una y b .
- Si a y b tienen un divisor común d , basta con probar esto para a / d y b / d , ya que lo mismo s , t servirá.
- Podemos suponer los polinomios a y b distinto de cero; si ambos tienen un término constante cero, entonces sea n el exponente mínimo tal que al menos uno de ellos tenga un coeficiente de X n distinto de cero ; uno puede encontrar f en F tal que fX n es un divisor común de un y b y se dividen por el mismo.
- Por lo tanto, podemos suponer que al menos uno de a , b tiene un término constante distinto de cero. Si un y b vistos como elementos de F [ X ] no son primos entre sí, hay un máximo común divisor de un y b en este UFD que tiene término constante 1, y por lo tanto reside en S ; podemos dividir por este factor.
- Por tanto, podemos también suponemos que un y b son relativamente privilegiada en F [ X ], de manera que 1 se encuentra en aF [ X ] + bF [ X ] , y algunos polinomio constante r en R mentiras en aS + bS . Además, dado que R es un dominio de Bézout, el gcd d en R de los términos constantes a 0 y b 0 se encuentra en un 0 R + b 0 R . Dado que cualquier elemento sin término constante, como a - a 0 o b - b 0 , es divisible por cualquier constante distinta de cero, la constante d es un divisor común en S de a y b ; demostraremos que es, de hecho, un máximo común divisor mostrando que se encuentra en aS + bS . Multiplicando un y b , respectivamente, por los coeficientes de Bézout para d con respecto a un 0 y b 0 da un polinomio p en aS + bS con término constante d . Entonces p - d tiene un término constante cero, por lo que es un múltiplo en S del polinomio constante r , y por lo tanto se encuentra en aS + bS . Pero luego d también lo hace, lo que completa la demostración.
Propiedades
Un anillo es un dominio de Bézout si y solo si es un dominio integral en el que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor que es una combinación lineal de ellos: esto es equivalente a la afirmación de que un ideal que es generado por dos elementos también es generado por un solo elemento, y la inducción demuestra que todos los ideales generados finitamente son principales. La expresión del máximo común divisor de dos elementos de un PID como combinación lineal se denomina a menudo identidad de Bézout , de ahí la terminología.
Tenga en cuenta que la condición de mcd anterior es más fuerte que la mera existencia de un mcd. Un dominio integral donde existe un gcd para dos elementos cualesquiera se denomina dominio GCD y, por lo tanto, los dominios Bézout son dominios GCD. En particular, en un dominio de Bézout, los irreducibles son primos (pero como muestra el ejemplo de entero algebraico, no necesitan existir).
Para un dominio R de Bézout , las siguientes condiciones son todas equivalentes:
- R es un dominio ideal principal.
- R es noetheriano.
- R es un dominio de factorización único (UFD).
- R satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP).
- Cada unidad distinta de cero en R se factoriza en un producto de irreducibles (R es un dominio atómico ).
La equivalencia de (1) y (2) se señaló anteriormente. Dado que un dominio de Bézout es un dominio de GCD, se deduce inmediatamente que (3), (4) y (5) son equivalentes. Finalmente, si R no es noetheriano, entonces existe una cadena ascendente infinita de ideales generados finitamente, por lo que en un dominio Bézout una cadena ascendente infinita de ideales principales. (4) y (2) son por tanto equivalentes.
Un dominio de Bézout es un dominio de Prüfer , es decir, un dominio en el que cada ideal finitamente generado es invertible, o dicho de otra manera, un dominio semihereditario conmutativo .)
En consecuencia, se puede ver la equivalencia "dominio Bézout iff dominio Prüfer y dominio GCD" como análoga al más familiar "PID iff dominio Dedekind y UFD".
Los dominios de Prüfer se pueden caracterizar como dominios integrales cuyas localizaciones en todos los ideales primos (de manera equivalente, en todos los ideales máximos ) son dominios de valoración . Por tanto, la localización de un dominio de Bézout en un ideal principal es un dominio de valoración. Dado que un ideal invertible en un anillo local es principal, un anillo local es un dominio de Bézout si es un dominio de valoración. Además, un dominio de valoración con un grupo de valor no cíclico (equivalentemente no discreto ) no es noetheriano, y todo grupo abeliano totalmente ordenado es el grupo de valor de algún dominio de valoración. Esto da muchos ejemplos de dominios Bézout no noetherianos.
En álgebra no conmutativa, dominios Bézout adecuados son dominios cuyos finitamente generados ideales correctos son ideales principales correctas, es decir, de la forma xR por alguna x en R . Un resultado notable es que un dominio Bézout correcto es un dominio Mineral correcto . Este hecho no es interesante en el caso conmutativo, ya que cada dominio conmutativo es un dominio Ore. Los dominios de Bézout de la derecha también son anillos semihereditarios de la derecha.
Módulos sobre un dominio Bézout
Algunos datos sobre los módulos sobre un PID se extienden a los módulos sobre un dominio Bézout. Deje que R sea un dominio de Bézout y M módulo finitamente generado sobre R . Entonces M es plano si y solo si está libre de torsión. [2]
Ver también
- Semifir (un semifir conmutativo es precisamente un dominio de Bézout).
- Anillo Bézout
Referencias
- ^ Cohn
- ^ Bourbaki 1989 , Ch I, §2, no 4, Proposición 3
- Cohn, PM (1968), "Anillos de Bezout y sus subanillos" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 : 251–264, doi : 10.1017 / s0305004100042791 , MR 0222065
- Helmer, Olaf (1940), "Propiedades de divisibilidad de funciones integrales", Duke Math. J. , 6 : 345–356, doi : 10.1215 / s0012-7094-40-00626-3 , ISSN 0012-7094 , MR 0001851
- Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass .: Allyn y Bacon Inc., págs. X + 180, MR 0254021
- Bourbaki, Nicolas (1989), álgebra conmutativa
- "Anillo de Bezout" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]