En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría de anillos , un anillo tiene la propiedad del número de base invariante ( IBN ) si todos los módulos izquierdos libres generados finitamente sobre R tienen un rango bien definido. En el caso de los campos , la propiedad IBN se convierte en el enunciado de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión única .
Definición
Un anillo R tiene número base invariante (IBN) si para todos los números enteros positivos m y n , R m isomorfo a R n (como izquierda R -modules) implica que m = n .
De manera equivalente, no existen estos medios de hacer allí números enteros positivos distintos m y n tales que R m es isomorfo a R n .
Parafraseando la definición de número base invariante en términos de matrices, dice que, siempre que A es una matriz m- por- n sobre R y B es una matriz n- por- m sobre R tal que AB = I y BA = I , entonces m = n . Esta forma revela que la definición es simétrica de izquierda a derecha, por lo que no importa si definimos IBN en términos de módulos de izquierda o derecha; las dos definiciones son equivalentes.
Tenga en cuenta que los isomorfismos en las definiciones no son isomorfismos de anillo, son isomorfismos de módulo.
Propiedades
El propósito principal de la condición de número base invariante es que los módulos libres sobre un anillo IBN satisfagan un análogo del teorema de dimensión para espacios vectoriales : dos bases cualesquiera para un módulo libre sobre un anillo IBN tienen la misma cardinalidad. Suponiendo el lema del ultrafiltro (una forma estrictamente más débil del axioma de elección ), este resultado es en realidad equivalente a la definición dada aquí, y puede tomarse como una definición alternativa.
El rango de un módulo libre R n sobre un anillo IBN R se define para ser la cardinalidad del exponente m de cualquier (y por lo tanto cada) R -módulo R m isomorfo a R n . Por tanto, la propiedad IBN afirma que cada clase de isomorfismo de módulos R libres tiene un rango único. El rango no está definido para anillos que no satisfacen IBN. Para los espacios vectoriales, el rango también se llama dimensión . Por lo tanto, el resultado anterior es breve: el rango se define de forma única para todos los módulos R libres si está definido de forma única para los módulos R libres generados de forma finita.
Ejemplos de
Cualquier campo satisface IBN, y esto equivale al hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión bien definida. Además, cualquier anillo conmutativo (excepto en el caso trivial donde 1 = 0 ) satisface IBN, al igual que cualquier anillo noetheriano izquierdo y cualquier anillo semilocal .
Sea A un anillo conmutativo y suponga que existe un isomorfismo del módulo A. Dejarla base canónica de A n , que significaes todo ceros excepto uno en la i -ésima posición. Según el teorema de Krull , supongamos que I es un ideal máximo propio de A y. Un morfismo de módulo A significa
porque yo es un ideal. Entonces f induce un morfismo de módulo A / I, que puede demostrarse fácilmente que es un isomorfismo. Dado que A / I es un campo, f ' es un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión finita, por lo que n = p .
Un ejemplo de un anillo que no satisface IBN es el anillo de matrices finitas de columna , las matrices con coeficientes en un anillo R , con entradas indexadas pory cada columna tiene sólo un número finito de entradas distintas de cero. Ese último requisito nos permite definir el producto de matrices infinitas MN , dando la estructura del anillo. Un isomorfismo del módulo izquierdo es dado por:
Este anillo de matriz infinita resulta ser isomorfo a los endomorfismos de un módulo libre derecho sobre R de rango contable , que se encuentra en la página 190 de ( Hungerford ) .
A partir de este isomorfismo, es posible mostrar (abreviando ) Que S ≅ S n para cualquier número entero positivo n , y por lo tanto S n ≅ S m para cualquier par de números enteros positivos m y n . Hay otros ejemplos de anillos no IBN sin esta propiedad, entre ellos las álgebras de Leavitt como se ve en ( Abrams 2002 ) .
Otros resultados
IBN es una condición necesaria (pero no suficiente) para que un anillo sin divisores de cero se pueda incrustar en un anillo de división (confiere un campo de fracciones en el caso conmutativo). Consulte también la condición del mineral .
Cada anillo de división no trivial o anillo finito estable tiene un número base invariante.
Referencias
- Abrams, Gene; Ánh, PN (2002), "Algunas álgebras ultramatriciales que surgen como intersecciones de las álgebras de Leavitt", J. Algebra Appl. , 1 (4): 357–363, doi : 10.1142 / S0219498802000227 , ISSN 0219-4988 , MR 1950131
- Hungerford, Thomas W. (1980) [1974], Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas, 73 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xxiii + 502, ISBN 0-387-90518-9, MR 0600654 Reimpresión del original de 1974