curva polar
En geometría algebraica , la primera polar , o simplemente polar de una curva plana algebraica C de grado n con respecto a un punto Q es una curva algebraica de grado n −1 que contiene todo punto de C cuya recta tangente pasa por Q. Se utiliza para investigar la relación entre la curva y su dual , por ejemplo, en la derivación de las fórmulas de Plücker .
Sea C definida en coordenadas homogéneas por f ( x, y, z ) = 0 donde f es un polinomio homogéneo de grado n , y sean las coordenadas homogéneas de Q ( a , b , c ). Definir el operador
Entonces Δ Q f es un polinomio homogéneo de grado n −1 y Δ Q f ( x, y, z ) = 0 define una curva de grado n −1 llamada primera polar de C con respecto a Q .
En particular, P está en la intersección de C y su primer polar con respecto a Q si y solo si Q está en la tangente a C en P. Para un punto doble de C , las derivadas parciales de f son todas 0, por lo que el primer polar también contiene estos puntos.
La clase de C se puede definir como el número de tangentes que se pueden trazar a C desde un punto que no está en C (contando multiplicidades e incluyendo tangentes imaginarias). Cada una de estas tangentes toca a C en uno de los puntos de intersección de C y la primera polar, y por el teorema de Bézout hay como máximo n ( n −1) de ellas. Esto pone un límite superior de n ( n −1) en la clase de una curva de grado n . La clase se puede calcular exactamente contando el número y tipo de puntos singulares en C (verfórmula de Plucker ).
El p-ésimo polar de un C para un número natural p se define como Δ Q p f ( x, y, z ) = 0. Esta es una curva de grado n − p . Cuando p es n −1, la p -ésima polar es una línea llamada línea polar de C con respecto a Q . De manera similar, cuando p es n −2, la curva se llama cónica polar de C .
