En matemáticas , una fórmula de Plücker , que lleva el nombre de Julius Plücker , pertenece a una familia de fórmulas, de un tipo desarrollado por primera vez por Plücker en la década de 1830, que relacionan ciertas invariantes numéricas de curvas algebraicas con las correspondientes invariantes de sus curvas duales . El invariante llamado género , común tanto a la curva como a su dual, está conectado a los otros invariantes mediante fórmulas similares. Estas fórmulas, y el hecho de que cada uno de los invariantes debe ser un entero positivo, imponen limitaciones bastante estrictas a sus posibles valores.
Invariantes de Plücker y ecuaciones básicas
Una curva en este contexto está definida por una ecuación algebraica no degenerada en el plano proyectivo complejo . Las rectas en este plano corresponden a puntos en el plano proyectivo dual y las rectas tangentes a una curva algebraica C dada corresponden a puntos en una curva algebraica C * llamada curva dual . En la correspondencia entre el plano proyectivo y su doble, puntos de C corresponden a líneas tangentes C * , por lo que el doble de C * puede ser identificado con C .
Los dos primeros invariantes cubiertos por las fórmulas plucker son el grado d de la curva C y el grado d * , clásicamente llamado la clase de C . Geométricamente, d es el número de veces que una línea dada se cruza con C con multiplicidades contadas correctamente. (Esto incluye puntos complejos y puntos en el infinito, ya que las curvas se toman como subconjuntos del plano proyectivo complejo). De manera similar, d * es el número de tangentes a C que son líneas a través de un punto dado en el plano; así, por ejemplo, una sección cónica tiene tanto grado como clase 2. Si C no tiene singularidades , la primera ecuación de Plücker establece que
pero esto debe corregirse para curvas singulares.
De los puntos dobles de C , sea δ el número que son ordinarios, es decir, que tienen tangentes distintas (también se llaman nodos ) o son puntos aislados , y sea κ el número que son cúspides , es decir, que tienen una sola tangente (espinodes ). Si C tiene singularidades de orden superior, estas se cuentan como múltiples puntos dobles de acuerdo con un análisis de la naturaleza de la singularidad. Por ejemplo, un punto triple ordinario se cuenta como 3 puntos dobles. Nuevamente, los puntos complejos y los puntos en el infinito se incluyen en estos recuentos. La forma corregida es de la primera ecuación de Plücker es
De manera similar, sea δ * el número de puntos dobles ordinarios y κ * el número de cúspides de C * . Entonces la segunda ecuación de Plücker establece
La interpretación geométrica de un punto doble ordinario de C * es una línea que es tangente a la curva en dos puntos ( doble tangente ) y la interpretación geométrica de una cúspide de C * es un punto de inflexión (tangente estacionaria).
Considere, por ejemplo, el caso de un cúbico liso:
La fórmula anterior muestra que tiene
inflexiones. Si el cúbico degenera y obtiene un punto doble, entonces 6 puntos convergen al punto singular y solo quedan 3 inflexiones a lo largo de la curva singular. Si el cúbico se degenera y adquiere una cúspide, solo queda una inflexión.
Tenga en cuenta que las dos primeras ecuaciones de Plücker tienen versiones duales:
Las cuatro ecuaciones dadas hasta ahora son, de hecho, dependientes, por lo que se pueden usar tres para derivar la restante. A partir de ellos, dados tres de los seis invariantes, d , d * , δ, δ * , κ, κ * , se pueden calcular los tres restantes.
Finalmente, el género de C , clásicamente conocido como la deficiencia de C , se puede definir como
Esto es igual a la cantidad dual
y es un número entero positivo.
En total, hay cuatro ecuaciones independientes en 7 incógnitas, y con ellas se pueden usar tres de estas invariantes para calcular las cuatro restantes.
Curvas no singulares
Un caso especial importante es cuando la curva C no es singular o, de manera equivalente, δ y κ son 0, por lo que las restantes invariantes se pueden calcular solo en términos de d . En este caso los resultados son:
Entonces, por ejemplo, una curva plana cuártica no singular es del género 3 y tiene 28 bitangentes y 24 puntos de inflexión.
Tipos de curvas
Las curvas se clasifican en tipos según sus invariantes de Plücker. Las ecuaciones de Plücker, junto con la restricción de que todas las invariantes de Plücker deben ser números naturales, limita en gran medida el número de tipos posibles para curvas de un grado dado. Las curvas que son proyectivamente equivalentes tienen el mismo tipo, aunque las curvas del mismo tipo no son, en general, proyectivamente equivalentes. Las curvas de grado 2, secciones cónicas, tienen un solo tipo dado por d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0.
Para curvas de grado 3 hay tres tipos posibles, dados por: [1]
Tipo | D | d * | δ | δ * | κ | κ * | gramo |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(I) | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 9 | 1 |
(ii) | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 3 | 0 |
(iii) | 3 | 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Las curvas de los tipos (ii) y (iii) son las cúbicas racionales y se denominan nodales y cúspides respectivamente. Las curvas de tipo (i) son las cúbicas no singulares ( curvas elípticas ).
Para curvas de grado 4 hay 10 tipos posibles, dados por: [2]
Tipo | D | d * | δ | δ * | κ | κ * | gramo |
---|---|---|---|---|---|---|---|
(I) | 4 | 12 | 0 | 28 | 0 | 24 | 3 |
(ii) | 4 | 10 | 1 | dieciséis | 0 | 18 | 2 |
(iii) | 4 | 9 | 0 | 10 | 1 | dieciséis | 2 |
(iv) | 4 | 8 | 2 | 8 | 0 | 12 | 1 |
(v) | 4 | 7 | 1 | 4 | 1 | 10 | 1 |
(vi) | 4 | 6 | 0 | 1 | 2 | 8 | 1 |
(vii) | 4 | 6 | 3 | 4 | 0 | 6 | 0 |
(viii) | 4 | 5 | 2 | 2 | 1 | 4 | 0 |
(ix) | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
(X) | 4 | 3 | 0 | 1 | 3 | 0 | 0 |
Referencias
- ^ Hilton, Harold (1920). Plano de curvas algebraicas . Oxford. pag. 201 .
- ^ Hilton p. 264
- Shokurov, VV (2001) [1994], "Fórmulas de Plücker" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Salmon, George (1879) Tratado sobre las curvas planas superiores págs. 64 y sig.