función Heun
En matemáticas , la función local de Heun Hℓ(a,q;α,β,γ,δ;z) ( Karl LW Heun 1889 ) es la solución de la ecuación diferencial de Heun que es holomorfa y 1 en el punto singular z = 0 La función de Heun local se llama función de Heun , denotada Hf , si también es regular en z = 1, y se llama polinomio de Heun , denotada Hp , si es regular en los tres puntos singulares finitos z = 0, 1, un .
Se toma la condición de que los exponentes característicos de la singularidad regular en el infinito sean α y β (ver más abajo).
El número complejo q se llama parámetro accesorio . La ecuación de Heun tiene cuatro puntos singulares regulares : 0, 1, a y ∞ con exponentes (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ϵ) y (α, β). Cada EDO lineal de segundo orden en el plano complejo extendido con como máximo cuatro puntos singulares regulares, como la ecuación de Lamé o la ecuación diferencial hipergeométrica , puede transformarse en esta ecuación mediante un cambio de variable.
La coalescencia de varias singularidades regulares de la ecuación de Heun en singularidades irregulares da lugar a varias formas confluentes de la ecuación, como se muestra en la siguiente tabla.
La ecuación de Heun tiene un grupo de simetrías de orden 192, isomorfas al grupo de Coxeter del diagrama D 4 de Coxeter , análogas a las 24 simetrías de las ecuaciones diferenciales hipergeométricas obtenidas por Kummer. Las simetrías que fijan la función de Heun local forman un grupo de orden 24 isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, por lo que hay 192/24 = 8 = 2 × 4 soluciones esencialmente diferentes dadas al actuar sobre la función de Heun local mediante estas simetrías, que dar soluciones para cada uno de los 2 exponentes para cada uno de los 4 puntos singulares. La lista completa de 192 simetrías fue dada por Maier (2007)utilizando el cálculo de la máquina. Varios intentos anteriores de varios autores de enumerarlos a mano contenían muchos errores y omisiones; por ejemplo, la mayoría de las 48 soluciones locales enumeradas por Heun contienen errores graves.