En dinámica de fluidos , la ecuación de Hicks o, a veces, también conocida como ecuación de Bragg-Hawthorne o ecuación de Squire-Long, es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de la función de corriente para un fluido no viscoso axisimétrico, que lleva el nombre de William Mitchinson Hicks , quien la derivó por primera vez en 1898. [1] [2] [3] La ecuación también fue derivada por Stephen Bragg y William Hawthorne en 1950 y por Robert R. Long en 1953 y por Herbert Squire en 1956. [4] [5] [6]La ecuación de Hicks sin remolino fue introducida por primera vez por George Gabriel Stokes en 1842. [7] [8] La ecuación de Grad-Shafranov que aparece en la física del plasma también toma la misma forma que la ecuación de Hicks.
Representando como coordenadas en el sentido de un sistema de coordenadas cilíndrico con los correspondientes componentes de velocidad de flujo denotados por , la función de flujo que define el movimiento meridional se puede definir como
que satisface la ecuación de continuidad para flujos simétricos de forma automática. La ecuación de Hicks viene dada por [9]
dónde
dónde es la cabeza total, cf Principio de Bernoulli . yes la circulación , ambos conservados a lo largo de las líneas de corriente. Aquí, es la presión y es la densidad del fluido. Las funciones y son funciones conocidas, generalmente prescritas en uno de los límites.
Derivación
Considere el flujo axisimétrico en un sistema de coordenadas cilíndrico con componentes de velocidad y componentes de vorticidad . Desde en flujos axisimétricos, los componentes de vorticidad son
- .
La ecuación de continuidad permite definir una función de flujo. tal que
(Tenga en cuenta que los componentes de la vorticidad y Están relacionados a exactamente de la misma manera que y Están relacionados a ). Por lo tanto, el componente azimutal de la vorticidad se convierte en
Las ecuaciones de momento no viscoso , dónde es la constante de Bernoulli, es la presión del fluido y es la densidad del fluido, cuando se escribe para el campo de flujo simétrico, se convierte en
en el que la segunda ecuación también se puede escribir como , dónde es el derivado material . Esto implica que la circulación alrededor de una curva de material en forma de círculo centrado en -eje es constante.
Si el movimiento del fluido es constante, la partícula del fluido se mueve a lo largo de una línea de corriente, en otras palabras, se mueve sobre la superficie dada por constante. De ello se deduce entonces que y , dónde . Por lo tanto, el componente radial y azimutal de la vorticidad son
- .
Los componentes de y son localmente paralelos. Las expresiones anteriores se pueden sustituir en las ecuaciones de momento radial o axial (después de eliminar el término derivado del tiempo) para resolver. Por ejemplo, sustituyendo la expresión anterior poren la ecuación del momento axial conduce a [9]
Pero se puede expresar en términos de como se muestra al comienzo de esta derivación. Cuándo se expresa en términos de , obtenemos
Esto completa la derivación requerida.
Referencias
- ^ Hicks, WM (1898). Investiga en movimiento de vórtice. Parte III. Sobre agregados de vórtice en espiral o giroestático. Actas de la Royal Society of London, 62 (379–387), 332–338. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspl.1897.0119
- ^ Hicks, WM (1899). II. Investiga en movimiento de vórtice. — Parte III. Sobre agregados de vórtice en espiral o giroestático. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico, (192), 33–99. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsta.1899.0002
- ^ Smith, SGL y Hattori, Y. (2012). Vórtices magnéticos axisimétricos con remolino. Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica, 17 (5), 2101–2107.
- ^ Bragg, SL y Hawthorne, WR (1950). Algunas soluciones exactas del flujo a través de discos actuadores en cascada anulares. Revista de Ciencias Aeronáuticas, 17 (4), 243–249
- ↑ Long, RR (1953). Movimiento constante alrededor de un obstáculo simétrico que se mueve a lo largo del eje de un líquido en rotación. Revista de meteorología, 10 (3), 197-203.
- ^ Squire, HB (1956). Fluidos rotativos. Encuestas en Mecánica. Una colección de Encuestas del puesto actual de Investigación en algunas ramas de la Mecánica, escritas en Conmemoración del 70º Aniversario de Geoffrey Ingram Taylor, Eds. GK Batchelor y RM Davies. 139–169
- ^ Stokes, G. (1842). Sobre el movimiento estable de fluidos incompresibles Trans. Camb. Phil. Soc. VII, 349.
- ^ Cordero, H. (1993). Hidrodinámica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ↑ a b Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos. Sección 7.5. Prensa de la Universidad de Cambridge. sección 7.5, pág. 543-545