La ecuación de Grad-Shafranov ( H. Grad y H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) es la ecuación de equilibrio en magnetohidrodinámica ideal (MHD) para un plasma bidimensional , por ejemplo, el plasma toroidal aximétrico en un tokamak . Esta ecuación toma la misma forma que la ecuación de Hicks de la dinámica de fluidos. [1] Esta ecuación es una ecuación diferencial parcial elíptica , no lineal , bidimensional obtenida de la reducción de las ecuaciones MHD ideales a dos dimensiones, a menudo para el caso de toroidales.axisimetría (el caso relevante en un tokamak). Tomando como las coordenadas cilíndricas, la función de flujo se rige por la ecuación,
dónde es la permeabilidad magnética ,es la presión , y el campo magnético y la corriente están dados, respectivamente, por
La naturaleza del equilibrio, ya sea un tokamak , pellizco de campo invertido, etc., está determinada en gran medida por las elecciones de las dos funciones. y así como las condiciones de contorno.
Derivación (en coordenadas cartesianas)
A continuación, se supone que el sistema es bidimensional con como el eje invariante, es decir para todas las cantidades. Entonces el campo magnético se puede escribir en coordenadas cartesianas como
o de forma más compacta,
dónde es el potencial vectorial para el campo magnético en el plano (componentes xey). Tenga en cuenta que con base en esta forma para B podemos ver que A es constante a lo largo de cualquier línea de campo magnético dada, ya queestá en todas partes perpendicular a B . (También tenga en cuenta que -A es la función de flujo mencionado anteriormente.)
Las estructuras magnéticas estacionarias bidimensionales se describen mediante el equilibrio de las fuerzas de presión y las fuerzas magnéticas, es decir:
donde p es la presión plasmática y j es la corriente eléctrica. Se sabe que p es una constante a lo largo de cualquier línea de campo, (nuevamente desdees en todas partes perpendicular a B ). Además, la suposición bidimensional () significa que el componente z del lado izquierdo debe ser cero, por lo que el componente z de la fuerza magnética del lado derecho también debe ser cero. Esto significa que, es decir es paralelo a .
El lado derecho de la ecuación anterior se puede considerar en dos partes:
donde el subíndice denota el componente en el plano perpendicular al -eje. La componente de la corriente en la ecuación anterior se puede escribir en términos del potencial vectorial unidimensional como .
El campo en plano es
- ,
y usando la ecuación de Maxwell-Ampère, la corriente en el plano está dada por
- .
Para que este vector sea paralelo a según sea necesario, el vector debe ser perpendicular a , y debe por lo tanto, como , sea un invariante de línea de campo.
Reorganizar los productos cruzados anteriores conduce a
- ,
y
Estos resultados se pueden sustituir en la expresión de ceder:
Desde y son constantes a lo largo de una línea de campo, y funciones sólo de , por eso y . Por lo tanto, factorizary reordenar los términos produce la ecuación de Grad-Shafranov :
Referencias
- ^ Smith, SGL y Hattori, Y. (2012). Vórtices magnéticos axisimétricos con remolino. Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica, 17 (5), 2101-2107.
- Grad, H. y Rubin, H. (1958) Equilibrios hidromagnéticos y campos libres de fuerzas . Actas de la 2da Conf. ONU. sobre los usos pacíficos de la energía atómica, vol. 31, Ginebra: OIEA pág. 190.
- Shafranov, VD (1966) Equilibrio del plasma en un campo magnético , Reviews of Plasma Physics , vol. 2, Nueva York: Consultants Bureau, pág. 103.
- Woods, Leslie C. (2004) Física de plasmas , Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, capítulo 2.5.4
- Haverkort, JW (2009) Equilibrios Axisimétricos Ideal MHD Tokamak . Notas sobre la ecuación de Grad-Shafranov, aspectos seleccionados de la ecuación y sus soluciones analíticas.
- Haverkort, JW (2009) Equilibrios Axisimétricos Ideal MHD con flujo toroidal . Incorporación de flujo toroidal, relación con modelos cinéticos y bifluidos, y discusión de soluciones analíticas específicas.