En matemáticas , específicamente álgebra conmutativa , el teorema de la base de Hilbert dice que un anillo polinomial sobre un anillo noetheriano es noetheriano.
Declaración
Si es un anillo, deja denotar el anillo de polinomios en el indeterminado encima . Hilbert demostró que si es "no demasiado grande", en el sentido de que si es noetheriano, lo mismo debe ser cierto para . Formalmente,
Teorema de la base de Hilbert. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano.
Corolario. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano.
Esto se puede traducir a geometría algebraica de la siguiente manera: cada conjunto algebraico sobre un campo puede describirse como el conjunto de raíces comunes de un número finito de ecuaciones polinómicas. Hilbert demostró el teorema (para el caso especial de anillos polinomiales sobre un campo) en el curso de su demostración de generación finita de anillos de invariantes. [1]
Hilbert produjo una prueba innovadora por contradicción usando inducción matemática ; Este método no proporciona un algoritmo para producir polinomios base finitos para un ideal dado: solo muestra que deben existir. Se pueden determinar polinomios de base utilizando el método de las bases de Gröbner .
Prueba
- Teorema. Si es un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) , luego el anillo polinomial es también un anillo noetheriano izquierdo (o derecho).
Observación. Daremos dos pruebas, en ambas sólo se considera el caso "izquierdo"; la prueba del caso correcto es similar.
Primera prueba
Suponer es un ideal de izquierda no finitamente generado. Luego, por recursividad (usando el axioma de elección dependiente ) hay una secuencia de polinomios tales que si es el ideal izquierdo generado por luego es de grado mínimo. Está claro quees una secuencia no decreciente de naturales. Dejar ser el coeficiente principal de y deja ser el ideal de la izquierda en generado por . Desde es Noetherian la cadena de ideales
debe terminar. Por lo tanto por algún entero . Entonces, en particular,
Ahora considera
cuyo término principal es igual al de ; es más,. Sin emabargo,, Lo que significa que tiene un grado menor que , contradiciendo la minimidad.
Segunda prueba
Dejar ser un ideal de izquierda. Dejar ser el conjunto de coeficientes principales de miembros de . Este es obviamente un ideal de izquierda sobre, y así es generado finitamente por los coeficientes principales de un número finito de miembros de ; decir. Dejar ser el máximo del conjunto , y deja ser el conjunto de coeficientes principales de miembros de , cuyo grado es . Como antes, el se acabaron los ideales de izquierda , y así son generados finitamente por los coeficientes principales de un número finito de miembros de , decir
con grados . Ahora deja ser el ideal de izquierda generado por:
Tenemos y reclamar también . Supongamos, en aras de la contradicción, que esto no sea así. Entonces deja ser de grado mnimo, y denotar su coeficiente principal por .
- Caso 1:. Independientemente de esta condición, tenemos , también lo es una combinación lineal a la izquierda
- de los coeficientes de la . Considerar
- que tiene el mismo término inicial que ; es más tiempo . Por lo tanto y , lo que contradice la minimidad.
- Caso 2:. Luego también lo es una combinación lineal a la izquierda
- de los coeficientes principales de la . Considerando
- obtenemos una contradicción similar a la del caso 1.
Por lo tanto, nuestra afirmación se mantiene que se genera finitamente.
Tenga en cuenta que la única razón por la que tuvimos que dividirnos en dos casos fue para asegurarnos de que los poderes de multiplicar los factores no fueron negativos en las construcciones.
Aplicaciones
Dejar ser un anillo conmutativo noetheriano. El teorema de la base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos.
- Por inducción vemos que también será noetheriano.
- Dado que cualquier variedad afín sobre (es decir, un locus-conjunto de una colección de polinomios) puede escribirse como el locus de un ideal y además como el lugar de sus generadores, se sigue que cada variedad afín es el lugar de un número finito de polinomios, es decir, la intersección de un número finito de hipersuperficies .
- Si es un finitamente generado -álgebra, entonces sabemos que , dónde es un ideal. El teorema de la base implica que debe ser finitamente generado, digamos , es decir está finamente presentado .
Pruebas formales
Las pruebas formales del teorema de la base de Hilbert se han verificado a través del proyecto Mizar (ver archivo HILBASIS ) y Lean (ver ring_theory.polynomial ).
Referencias
- ^ Hilbert, David (1890). "Ueber die Theorie der algebraischen Formen". Mathematische Annalen . 36 (4): 473–534. doi : 10.1007 / BF01208503 . ISSN 0025-5831 .
Más enrojecimiento
- Cox, Little y O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms , Springer-Verlag, 1997.