En matemáticas , el axioma de elección dependiente , denotado por, es una forma débil del axioma de elección () que todavía es suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis real . Fue introducido por Paul Bernays en un artículo de 1942 que explora qué axiomas de la teoría de conjuntos son necesarios para desarrollar el análisis. [a]
Declaración formal
Una relación binaria homogénea en se llama completo si para cada existe algo tal que es verdad.
El axioma de elección dependiente se puede enunciar de la siguiente manera: Para cada conjunto no vacío y cada relación binaria completa en existe una secuencia en tal que
- para todos
Si el conjunto anterior está restringido a ser el conjunto de todos los números reales , entonces el axioma resultante se denota por
Usar
Incluso sin tal axioma, para cualquier , se puede utilizar la inducción matemática ordinaria para formar la primera términos de tal secuencia. El axioma de la elección dependiente dice que de esta manera podemos formar una secuencia completa (numerablemente infinita).
El axioma es el fragmento de que se requiere para mostrar la existencia de una secuencia construida por recursión transfinita de longitud contable , si es necesario hacer una elección en cada paso y si algunas de esas elecciones no se pueden hacer independientemente de las elecciones anteriores.
Declaraciones equivalentes
Sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , es equivalente al teorema de la categoría de Baire para espacios métricos completos. [1]
También es equivalente a al teorema de Löwenheim-Skolem . [b] [2]
también es equivalente a a la afirmación de que todo árbol podado conniveles tiene una rama ( prueba a continuación ).
Prueba de que Cada árbol podado con ω niveles tiene una rama |
---|
Dejar ser una relación binaria completa en . La estrategia es definir un árbol en de secuencias finitas cuyos elementos vecinos satisfacen Entonces una rama a través es una secuencia infinita cuyos elementos vecinos satisfacen Empiece por definir Si por Desde es entero, es un árbol podado con niveles. Por lo tanto, tiene una rama Entonces, para todos lo que implica Por lo tanto, es verdad. Dejar ser un árbol podado en con niveles. La estrategia es definir una relación binaria en así que eso produce una secuencia dónde y es una función estrictamente creciente . Entonces la secuencia infinitaes una rama. (Esta prueba solo necesita probar esto para) Empiece por definir Si es una subsecuencia inicial de y Desde es un árbol podado con niveles, está completo. Por lo tanto, implica que hay una secuencia infinita tal que Ahora para algunos Dejar ser el último elemento de Luego Para todos la secuencia pertenece a porque es una subsecuencia inicial de o es un Por lo tanto, es una rama. |
Relación con otros axiomas
A diferencia de completo , es insuficiente para probar (dado ) que hay un conjunto de números reales no medibles , o que hay un conjunto de números reales sin la propiedad de Baire o sin la propiedad del conjunto perfecto . Esto se sigue porque el modelo Solovay satisface, y cada conjunto de números reales en este modelo es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad de conjunto perfecto.
El axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable y es estrictamente más fuerte. [3] [4]
Notas
- ^ "La base del análisis no requiere la generalidad total de la teoría de conjuntos, pero puede lograrse dentro de un marco más restringido". Bernays, Paul (1942). "Parte III. Infinidad y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Revista de lógica simbólica . Un sistema de teoría axiomática de conjuntos. 7 (2): 65–89. doi : 10.2307 / 2266303 . JSTOR 2266303 . Señor 0006333 .El axioma de elección dependiente se establece en la p. 86.
- ^ Moore afirma que "Principio de elecciones dependientes Teorema de Löwenheim-Skolem ", es decir, implica el teorema de Löwenheim-Skolem. Ver tabla Moore, Gregory H. (1982). Axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Saltador. pag. 325. ISBN 0-387-90670-3.
Referencias
- ^ "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Blair, Charles E. (1977). "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Toro. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matemáticas. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
- ^ Lo contrario se demuestra en Boolos, George S .; Jeffrey, Richard C. (1989). Computabilidad y lógica (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 155-156 . ISBN 0-521-38026-X.
- ↑ Bernays demostró que el axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable Ver esp. pag. 86 pulg Bernays, Paul (1942). "Parte III. Infinidad y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Revista de lógica simbólica . Un sistema de teoría axiomática de conjuntos. 7 (2): 65–89. doi : 10.2307 / 2266303 . JSTOR 2266303 . Señor 0006333 .
- ^ Para una prueba de que el axioma de elección contable no implica el axioma de elección dependiente, consulteJech, Thomas (1973), The Axiom of Choice , Holanda Septentrional, págs. 130-131, ISBN 978-0-486-46624-8
- Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos (Third Millennium ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . Zbl 1007.03002 .