David Hilbert

Matemático alemán

"Hilbert" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Hilbert (desambiguación) .

David Hilbert
David Hilbert (1912)
Nació	(1862-01-23)23 de enero de 1862 Königsberg o Wehlau , Prusia
Fallecido	14 de febrero de 1943 (1943-02-14)(81 años) Gotinga , Alemania nazi
Nacionalidad	alemán
Educación	Universidad de Königsberg ( PhD )
Conocido por	Teorema de la base de Hilbert Axiomas de Hilbert Problemas de Hilbert Programa de Hilbert Acción de Einstein- Hilbert Espacio de Hilbert Cálculo de Epsilon
Esposos)	Käthe Jerosch
Niños	Franz (n. 1893)
Premios	Premio Lobachevsky (1903) Premio Bolyai (1910) ForMemRS [1]
Carrera científica
Los campos	Matemáticas , Física y Filosofía
Instituciones	Universidad de Königsberg Universidad de Göttingen
Tesis	Sobre propiedades invariantes de formas binarias especiales, especialmente de funciones esféricas  (1885)
Asesor de doctorado	Ferdinand von Lindemann [2]
Estudiantes de doctorado	Wilhelm Ackermann Heinrich Behmann Felix Bernstein Otto Blumenthal Anne Bosworth Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Rudolf Fueter Paul Funk Kurt Grelling Alfréd Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Margarete Kahn Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Klara Löbenstein Charles Max Mason Erhard Schmidt Kurt Schütte Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Sudan Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Otros estudiantes notables	Edward Kasner John von Neumann
Influencias	Immanuel Kant [3]

David Hilbert ( / h ɪ l b ər t / ; ^[4] alemán: [daːvɪt hɪlbɐt] ; 23 enero 1862 a 14 febrero 1943) fue un matemático alemán y una de las mayoría de los matemáticos influyentes de los siglos 19 y 20. Hilbert descubrió y desarrolló una amplia gama de ideas fundamentales en muchas áreas, incluida la teoría invariante , el cálculo de variaciones , el álgebra conmutativa , la teoría algebraica de números , los fundamentos de la geometría , la teoría espectral de operadores y su aplicación aecuaciones integrales , física matemática y los fundamentos de las matemáticas (en particular, la teoría de la prueba ).

Hilbert adoptó y defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Georg Cantor . En 1900, presentó una colección de problemas que marcaron el rumbo de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. ^{[5] [6]}

Hilbert y sus estudiantes contribuyeron significativamente a establecer el rigor y desarrollaron importantes herramientas utilizadas en la física matemática moderna. Hilbert es conocido como uno de los fundadores de la teoría de la prueba y la lógica matemática . ^[7]

La vida

Temprana edad y educación

Hilbert, el primero de dos hijos y único hijo de Otto y Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, nació en la provincia de Prusia , Reino de Prusia , ya sea en Königsberg (según la propia declaración de Hilbert) o en Wehlau (conocida desde 1946 como Znamensk ) cerca de Königsberg, donde trabajaba su padre en el momento de su nacimiento. ^[8]

A fines de 1872, Hilbert ingresó en el Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , la misma escuela a la que Immanuel Kant había asistido 140 años antes); pero, después de un período infeliz, se trasladó (a fines de 1879) y se graduó (a principios de 1880) en el Wilhelm Gymnasium, más orientado a la ciencia. ^[9] Después de graduarse, en otoño de 1880, Hilbert se matriculó en la Universidad de Königsberg , la "Albertina". A principios de 1882, Hermann Minkowski (dos años más joven que Hilbert y también nativo de Königsberg pero había ido a Berlín durante tres semestres), ^[10] regresó a Königsberg y entró en la universidad. Hilbert desarrolló una amistad de por vida con el tímido y talentoso Minkowski.^{[11] [12]}

Carrera profesional

En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Gotinga como Extraordinarius (es decir, profesor asociado). Se inició un intercambio científico intenso y fructífero entre los tres, y Minkowski y Hilbert ejercitaron especialmente una influencia recíproca el uno sobre el otro en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita por Ferdinand von Lindemann , ^[2] titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales , en particular las funciones armónicas esféricas" ) .

Hilbert permaneció en la Universidad de Königsberg como Privatdozent ( profesor titular ) de 1886 a 1895. En 1895, como resultado de la intervención en su nombre por Felix Klein , obtuvo el puesto de profesor de Matemáticas en la Universidad de Göttingen . Durante los años de Klein y Hilbert, Göttingen se convirtió en la institución preeminente en el mundo matemático. ^[13] Permaneció allí por el resto de su vida.

El Instituto de Matemáticas de Göttingen. Su nuevo edificio, construido con fondos de la Fundación Rockefeller , fue inaugurado por Hilbert y Courant en 1930.

Escuela de Göttingen

Entre los estudiantes de Hilbert estaban Hermann Weyl , el campeón de ajedrez Emanuel Lasker , Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel . John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Göttingen, Hilbert estaba rodeado por un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church .

Entre sus 69 Ph.D. Fueron muchos los estudiantes en Gotinga que luego se convirtieron en matemáticos famosos, entre ellos (con fecha de tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) y Wilhelm Ackermann (1925). ^[14] Entre 1902 y 1939 Hilbert fue editor de Mathematische Annalen , la principal revista matemática de la época.

Bien, no tenía suficiente imaginación para convertirse en matemático.

-  La respuesta de Hilbert al enterarse de que uno de sus alumnos se había retirado para estudiar poesía. ^[15]

Vida personal

Käthe Hilbert con Constantin Carathéodory , antes de 1932

En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch (1864-1945), que era la hija de un comerciante de Königsberg, una joven franca con una independencia mental que coincidía con la de [Hilbert] ". ^[16] Mientras estaban en Königsberg tuvieron su único hijo, Franz Hilbert (1893-1969). Franz sufrió durante toda su vida de una enfermedad mental no diagnosticada. Su intelecto inferior fue una terrible decepción para su padre y esta desgracia fue motivo de angustia para los matemáticos y estudiantes de Gotinga. ^[17]

Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski como su "mejor y más verdadero amigo". ^[18]

Hilbert fue bautizado y criado como calvinista en la Iglesia Evangélica Prusiana . ^[a] Más tarde dejó la Iglesia y se convirtió en agnóstico . ^[b] También argumentó que la verdad matemática era independiente de la existencia de Dios u otras suposiciones a priori . ^{[c] [d]} Cuando Galileo Galilei fue criticado por no defender sus convicciones sobre la teoría heliocéntrica , Hilbert objetó: "Pero [Galileo] no era un idiota. Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a su debido tiempo ". ^[mi]

Años despues

Al igual que Albert Einstein , Hilbert tenía contactos más estrechos con el Grupo de Berlín cuyos principales fundadores habían estudiado con Hilbert en Gotinga ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach y Walter Dubislav ). ^[19]

Alrededor de 1925, Hilbert desarrolló anemia perniciosa , una deficiencia de vitaminas que en ese momento era intratable y cuyo síntoma principal es el agotamiento; su asistente Eugene Wigner lo describió como sujeto a una "enorme fatiga" y cómo "parecía bastante mayor", y que incluso después de ser finalmente diagnosticado y tratado, "apenas era un científico después de 1925, y ciertamente no era un Hilbert". ^[20]

Hilbert vivió para ver a los nazis purgar a muchos de los profesores prominentes de la Universidad de Göttingen en 1933. ^[21] Entre los expulsados ​​se encontraban Hermann Weyl (que había tomado la cátedra de Hilbert cuando se jubiló en 1930), Emmy Noether y Edmund Landau . Uno que tuvo que salir de Alemania, Paul Bernays , había colaborado con Hilbert en lógica matemática y fue coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik (que finalmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela del libro de Hilbert- Ackermann Principles of Mathematical Logicdesde 1928. El sucesor de Hermann Weyl fue Helmut Hasse .

Aproximadamente un año después, Hilbert asistió a un banquete y se sentó junto al nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust . Rust preguntó si "el Instituto Matemático realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". Hilbert respondió: "¿Sufrió? ¡Ya no existe, verdad!" ^{[22] [23]}

Muerte

Tumba de Hilbert:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían renovado casi por completo el personal de la universidad, ya que muchos de los antiguos profesores eran judíos o estaban casados ​​con judíos. Al funeral de Hilbert asistieron menos de una docena de personas, de las cuales solo dos eran compañeros académicos, entre ellos Arnold Sommerfeld , físico teórico y también natural de Königsberg. ^{[24] La} noticia de su muerte solo se conoció en el resto del mundo seis meses después de su muerte. ^{[ cita requerida ]}

El epitafio de su lápida en Gotinga consiste en las famosas líneas que pronunció al final de su discurso de jubilación ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Las palabras se dieron en respuesta a la máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus " o "No sabemos, no sabremos": ^[25]

Wir müssen wissen. Wir werden wissen.	Debemos saberlo. Lo sabremos.

El día antes de que Hilbert pronunciara estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel, en una mesa redonda durante la Conferencia de Epistemología celebrada conjuntamente con las reuniones de la Sociedad, anunció provisionalmente la primera expresión de su teorema de incompletitud. . ^[f] Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que incluso los sistemas axiomáticos elementales como la aritmética de Peano son contradictorios o contienen proposiciones lógicas que son imposibles de probar o refutar.

Contribuciones a las matemáticas y la física

Hilbert resuelve el problema de Gordan

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud . Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores de formas binarias utilizando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a funciones con más de dos variables fracasaron debido a la enorme dificultad de los cálculos involucrados. Para resolver lo que se había conocido en algunos círculos como el problema de Gordan , Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema de la base de Hilbert , mostrando la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes de la cuántica.en cualquier número de variables, pero en forma abstracta. Es decir, si bien demostraba la existencia de tal conjunto, no era una prueba constructiva - no mostraba "un objeto" - sino más bien, era una prueba de existencia ^[26] y se basaba en el uso de la ley del medio excluido en una extensión infinita.

Hilbert envió sus resultados al Mathematische Annalen . Gordan, el experto de la casa en la teoría de invariantes para el Mathematische Annalen , no pudo apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque no era lo suficientemente completa. Su comentario fue:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.	Esto no es Matemáticas. Esta es la teología. [27]

Klein , por su parte, reconoció la importancia del trabajo y garantizó que se publicaría sin alteraciones. Animado por Klein, Hilbert amplió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen . Después de haber leído el manuscrito, Klein le escribió diciendo:

Sin duda, este es el trabajo más importante sobre álgebra general que Annalen haya publicado. ^[28]

Más tarde, una vez que se reconoció universalmente la utilidad del método de Hilbert, el propio Gordan diría:

Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos. ^[29]

A pesar de todos sus éxitos, la naturaleza de su prueba creó más problemas de los que Hilbert podría haber imaginado. Aunque Kronecker había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros de que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental" - en otras palabras (para citar a Reid): "A través de una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". ^[29] No todos estaban convencidos. Si bien Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su intuicionista en desarrollo."escuela", para gran tormento de Hilbert en sus últimos años. ^[30] De hecho, Hilbert perdería a su "alumno dotado" Weyl por el intuicionismo - "Hilbert estaba perturbado por la fascinación de su antiguo alumno por las ideas de Brouwer, que despertaron en Hilbert la memoria de Kronecker". ^[31] Brouwer el intuicionista en particular se opuso al uso de la Ley del Medio Excluido sobre conjuntos infinitos (como Hilbert la había usado). Hilbert respondió:

Tomar el Principio del Medio Excluido del matemático ... es lo mismo que ... prohibirle al boxeador el uso de sus puños. ^[32]

Axiomatización de la geometría

Artículo principal: axiomas de Hilbert

El texto Grundlagen der Geometrie (tr .: Fundamentos de la geometría ) publicado por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, llamado axiomas de Hilbert, que sustituye a los axiomas tradicionales de Euclides . Evitan las debilidades identificadas en las de Euclides , cuyas obras en ese momento todavía se usaban a la manera de los libros de texto. Es difícil especificar los axiomas usados ​​por Hilbert sin referirse al historial de publicaciones de Grundlagen ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert agregó V.2, el axioma de integridad. EJ Townsend hizo una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, que se registró con derechos de autor en 1902. ^[33][34] Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última en aparecer en vida de Hilbert. Nuevas ediciones siguieron a la séptima, pero el texto principal esencialmente no fue revisado. ^[gramo]

El enfoque de Hilbert señaló el cambio hacia el método axiomático moderno . En esto, Hilbert fue anticipado por el trabajo de Moritz Pasch de 1882. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar cosas sobre las que tenemos poderosas intuiciones, pero no es necesario asignar ningún significado explícito a los conceptos indefinidos. Los elementos, como el punto , la línea , el plano y otros, podrían ser sustituidos, como se dice que Hilbert le dijo a Schoenflies y Kötter , por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos similares. ^[35] Son sus relaciones definidas las que se discuten.

Hilbert primero enumera los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, acostado (una relación entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos), intermediación, congruencia de pares de puntos ( segmentos de línea ) y congruencia de ángulos . Los axiomas unifican tanto la geometría plana y geometría sólida de Euclides en un solo sistema.

Los 23 problemas

Artículo principal: Problemas de Hilbert

Hilbert presentó una lista muy influyente de 23 problemas no resueltos en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Esta se considera generalmente como la compilación de problemas abiertos más exitosa y profundamente considerada jamás realizada por un matemático individual. ^{[¿ por quién? ]}

Después de reelaborar los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podría haber extrapolado al resto de las matemáticas. Su enfoque difería, sin embargo, del posterior "fundacionalista" Russell-Whitehead o "enciclopedista" Nicolas Bourbaki , y de su contemporáneo Giuseppe Peano . La comunidad matemática en su conjunto podía alistarse en problemas, que él había identificado como aspectos cruciales de las áreas de las matemáticas que consideraba clave.

El conjunto de problemas se lanzó como una charla "Los Problemas de las Matemáticas" presentada durante el transcurso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. La introducción del discurso que dio Hilbert decía:

¿Quién de nosotros no estaría feliz de levantar el velo detrás del cual se esconde el futuro? para contemplar los próximos desarrollos de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos venideros? ¿Cuáles serán los fines hacia los que tenderá el espíritu de las futuras generaciones de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático? ^[36]

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas del Congreso. En una publicación posterior amplió el panorama y llegó a la formulación de los ahora canónicos 23 Problemas de Hilbert. Véase también el vigésimo cuarto problema de Hilbert . El texto completo es importante, ya que la exégesis de las preguntas aún puede ser un tema de debate inevitable, siempre que se pregunte cuántas se han resuelto.

Algunos de estos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido a lo largo del siglo XX, y algunos ahora se consideran inapropiadamente abiertos para llegar a un cierre. Algunos incluso continúan hasta el día de hoy siendo un desafío para los matemáticos.

Formalismo

En un relato que se había convertido en estándar a mediados de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert era también una especie de manifiesto, que abrió el camino para el desarrollo de la escuela formalista , una de las tres principales escuelas de matemáticas del siglo XX. Según el formalista, las matemáticas son la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas formales acordadas. Por tanto, es una actividad autónoma del pensamiento. Sin embargo, cabe dudar de que las propias opiniones de Hilbert fueran simplistas y formalistas en este sentido.

El programa de Hilbert

Artículo principal: programa de Hilbert

En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigación en metamatemáticas que se conoció como el programa de Hilbert. Quería que las matemáticas se formularan sobre una base lógica sólida y completa. Creía que, en principio, esto podría hacerse mostrando que:

1. todas las matemáticas se derivan de un sistema finito de axiomas correctamente elegido ; y
2. que tal sistema de axiomas es demostrablemente consistente a través de algunos medios como el cálculo épsilon .

Parece haber tenido razones tanto técnicas como filosóficas para formular esta propuesta. Afirmó su disgusto por lo que se había conocido como el ignorabimus , todavía un tema activo en su tiempo en el pensamiento alemán, y se remonta en esa formulación a Emil du Bois-Reymond .

Este programa todavía es reconocible en la filosofía de las matemáticas más popular , donde generalmente se le llama formalismo . Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión diluida y selectiva de la misma como adecuada a los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir obras fundamentales enciclopédicas y (b) apoyar el método axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha sido exitoso e influyente en relación con el trabajo de Hilbert en álgebra y análisis funcional, pero no ha logrado involucrarse de la misma manera con sus intereses en física y lógica.

Hilbert escribió en 1919:

No estamos hablando aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas estipuladas arbitrariamente. Más bien, es un sistema conceptual que posee una necesidad interna que solo puede ser así y de ninguna manera de otra manera. ^[37]

Hilbert publicó sus puntos de vista sobre los fundamentos de las matemáticas en la obra de dos volúmenes, Grundlagen der Mathematik .

El trabajo de Gödel

Hilbert y los matemáticos que trabajaron con él en su empresa estaban comprometidos con el proyecto. Su intento de apoyar las matemáticas axiomatizadas con principios definitivos, que podrían desterrar las incertidumbres teóricas, terminó en un fracaso.

Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictorio, que fuera lo suficientemente completo como para incluir al menos la aritmética, no puede demostrar su integridad mediante sus propios axiomas. En 1931, su teorema de incompletitud mostró que el gran plan de Hilbert era imposible como se dijo. El segundo punto no puede combinarse de manera razonable con el primer punto, siempre que el sistema de axiomas sea genuinamente finito .

Sin embargo, los logros posteriores de la teoría de la prueba aclararon al menos la consistencia en lo que respecta a las teorías de interés central para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había iniciado la lógica en este curso de aclaración; la necesidad de comprender el trabajo de Gödel condujo al desarrollo de la teoría de la recursividad y luego de la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base de la informática teórica posterior , en el trabajo de Alonzo Church y Alan Turing , también surgió directamente de este "debate".

Análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales ; su trabajo tuvo consecuencias directas para partes importantes del análisis funcional moderno. Para llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de espacio euclidiano de dimensión infinita , más tarde llamado espacio de Hilbert . Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base para importantes contribuciones a las matemáticas de la física en las próximas dos décadas, aunque desde una dirección inesperada. Posteriormente, Stefan Banach amplió el concepto, definiendo los espacios de Banach . Los espacios de Hilbert son una clase importante de objetos en el área del análisis funcional , particularmente delteoría espectral de los operadores lineales autoadjuntos, que se desarrolló a su alrededor durante el siglo XX.

Física

Hasta 1912, Hilbert fue casi exclusivamente un matemático puro . Al planificar una visita desde Bonn, donde estaba inmerso en sus estudios de física, su compañero matemático y amigo Hermann Minkowski bromeó sobre que tenía que pasar 10 días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. De hecho, Minkowski parece responsable de la mayoría de las investigaciones de física de Hilbert antes de 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905.

En 1912, tres años después de la muerte de su amigo, Hilbert centró su atención en el tema casi exclusivamente. Se arregló para tener un "tutor de física" para él. ^[38] Comenzó a estudiar la teoría cinética de los gases y pasó a la teoría de la radiación elemental y la teoría molecular de la materia. Incluso después de que comenzara la guerra en 1914, continuó con seminarios y clases donde se siguieron de cerca las obras de Albert Einstein y otros.

Para 1907, Einstein había enmarcado los fundamentos de la teoría de la gravedad , pero luego luchó durante casi 8 años para poner la teoría en su forma final . ^[39] A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert por la física se había centrado en la relatividad general , e invitó a Einstein a Gotinga para dar una semana de conferencias sobre el tema. ^[40] Einstein recibió una entusiasta recepción en Gotinga. ^[41] Durante el verano, Einstein se enteró de que Hilbert también estaba trabajando en las ecuaciones de campo y redobló sus propios esfuerzos. Durante noviembre de 1915, Einstein publicó varios artículos que culminaron en Las ecuaciones de campo de la gravitación (consulte las ecuaciones de campo de Einstein). ^[h] Casi simultáneamente, David Hilbert publicó "Los fundamentos de la física", una derivación axiomática de las ecuaciones de campo (ver la acción de Einstein-Hilbert ). Hilbert reconoció plenamente a Einstein como el creador de la teoría y nunca surgió ninguna disputa de prioridad pública sobre las ecuaciones de campo entre los dos hombres durante sus vidas. ^[i] Ver más con prioridad .

Además, el trabajo de Hilbert anticipó y ayudó a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica . Su trabajo fue un aspecto clave del trabajo de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger , y su homónimo espacio de Hilbert juega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann demostró que, si los estados cuánticos se entendieran como vectores en el espacio de Hilbert, se corresponderían tanto con la teoría de la función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg. ^[j]

A lo largo de esta inmersión en la física, Hilbert trabajó para poner rigor en las matemáticas de la física. Si bien dependían en gran medida de las matemáticas superiores, los físicos tendían a ser "descuidados" con ellas. Para un matemático puro como Hilbert, esto era feo y difícil de entender. Cuando comenzó a comprender la física y cómo los físicos usaban las matemáticas, desarrolló una teoría matemática coherente para lo que encontró, lo más importante en el área de ecuaciones integrales . Cuando su colega Richard Courant escribió el ahora clásico Methoden der mathischen Physik ( Métodos de física matemática) incluyendo algunas de las ideas de Hilbert, añadió el nombre de Hilbert como autor a pesar de que Hilbert no había contribuido directamente a la escritura. Hilbert dijo que "la física es demasiado difícil para los físicos", lo que implica que las matemáticas necesarias estaban generalmente más allá de ellos; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas.

Teoría de los números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado Zahlbericht de 1897 (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un problema significativo de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud , utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. ^[42] Luego tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre se adjunta además a un área importante.

Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clases . Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución sigue viva en los nombres del campo de clase de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de campo de clase local . Los resultados se probaron en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi . ^[k]

Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números , pero su nombre se ha hecho conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya , por razones anecdóticas.

Obras

Sus obras completas ( Gesammelte Abhandlungen ) se han publicado varias veces. Las versiones originales de sus artículos contenían "muchos errores técnicos de diverso grado"; ^[43] cuando la colección se publicó por primera vez, se corrigieron los errores y se encontró que esto podía hacerse sin cambios importantes en los enunciados de los teoremas, con una excepción: una supuesta prueba de la hipótesis del continuo . ^{[44] [45]} No obstante, los errores fueron tan numerosos y significativos que Olga Taussky-Todd tardó tres años en hacer las correcciones. ^[45]

Ver también

Conceptos

• Lista de cosas que llevan el nombre de David Hilbert
• Fundamentos de la geometría
• Hilbert C * -módulo
• Cubo de Hilbert
• Curva de Hilbert
• Matriz de Hilbert
• Métrica de Hilbert
• Criterio de Hilbert-Mumford
• Número de Hilbert
• Anillo de Hilbert
• Serie Hilbert – Poincaré
• Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert
• Espacio Hilbert
• Espectro de Hilbert
• Sistema de Hilbert
• Transformada de Hilbert
• Aritmética de fines de Hilbert
• La paradoja de Hilbert del Grand Hotel
• Operador de Hilbert-Schmidt
• Conjetura de Hilbert-Smith

Teoremas

• Teorema de Hilbert-Burch
• Teorema de irreductibilidad de Hilbert
• Nullstellensatz de Hilbert
• Teorema de Hilbert (geometría diferencial)
• Teorema de Hilbert 90
• Teorema de la sicigia de Hilbert
• Teorema de Hilbert-Speiser

Otro

• Controversia Brouwer-Hilbert
• Geometría e imaginación
• Disputa de prioridad de la relatividad

Notas al pie

1. Los Hilbert, en ese momento, habían dejado la Iglesia Protestante Reformada en la que habían sido bautizados y casados. - Reid 1996, pág.91
2. David Hilbert parecía ser agnóstico y no tenía nada que ver con la teología propiamente dicha o incluso con la religión. Constance Reid cuenta una historia sobre el tema:

   Los Hilbert habían dejado en ese momento [alrededor de 1902] la Iglesia protestante reformada en la que habían sido bautizados y casados. En Gotinga se dijo que cuando [el hijo de David Hilbert] Franz comenzó a ir a la escuela, no pudo responder la pregunta: "¿Qué religión eres?". (1970, pág.91)

   En el discurso de Hamburgo de 1927, Hilbert afirmó: "las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)" y "para fundarlas no necesito un buen Dios ([z] u ihrer Begründung brauche ich weder den lieben Gott ) "(1928, S. 85; van Heijenoort, 1967, p. 479). Sin embargo, desde Mathematische Probleme (1900) hasta Naturerkennen und Logik (1930), puso su fe cuasirreligiosa en el espíritu humano y en el poder del pensamiento puro con su amado hijo: las matemáticas. Estaba profundamente convencido de que todo problema matemático podía resolverse por la razón pura: tanto en las matemáticas como en cualquier parte de las ciencias naturales (a través de las matemáticas) no había "ignorabimus" (Hilbert, 1900, S. 262; 1930, S. 963; Ewald , 1996, págs.1102, 1165).Es por eso que encontrar una base absoluta interna para las matemáticas se convirtió en la obra de toda la vida de Hilbert. Nunca renunció a esta posición, y es simbólico que sus palabras "wir müssen wissen, wir werden wissen" ("debemos saber, lo sabremos") de su dirección de Königsberg de 1930 fueron grabadas en su lápida. Aquí, nos encontramos con un fantasma de la teología difunta (para modificar las palabras de George Berkeley), porque absolutizar la cognición humana significa identificarla tácitamente con una divina. -pues absolutizar la cognición humana significa identificarla tácitamente con la divina. -pues absolutizar la cognición humana significa identificarla tácitamente con la divina. -Shaposhnikov, Vladislav (2016). "Fundamentos teológicos de la filosofía moderna de las matemáticas. Parte II: La búsqueda de fundamentos autónomos" . Estudios de Lógica, Gramática y Retórica . 44 (1): 147-168. doi : 10.1515 / slgr-2016-0009 .
3. "Las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones. Para fundarla no necesito a Dios, como Kronecker, o la suposición de una facultad especial de nuestro entendimiento en sintonía con el principio de inducción matemática, como lo hace Poincaré, o la intuición primordial de Brouwer, o, finalmente, como hacen Russell y Whitehead, axiomas de infinito, reducibilidad o completitud, que de hecho son supuestos contenidos reales que no pueden compensarse con pruebas de coherencia ". David Hilbert, Die Grundlagen der Mathematik , programa de Hilbert, 22C: 096, Universidad de Iowa .
4. Michael R. Matthews (2009). Ciencia, cosmovisiones y educación . Saltador. pag. 129. ISBN 978-90-481-2779-5. Como es bien sabido, Hilbert rechazó al Dios de Leopold Kronecker para la solución del problema de los fundamentos de las matemáticas.
5. Constance Reid; Hermann Weyl (1970). Hilbert . Springer-Verlag. pag. 92 . ISBN 978-0-387-04999-1. Quizás los invitados estarían discutiendo el juicio de Galileo y alguien culparía a Galileo por no defender sus convicciones. "Pero no era un idiota", objetaría Hilbert. "Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a su debido tiempo".
6. "La Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas se desarrolló durante tres días, del 5 al 7 de septiembre" (Dawson 1997: 68). "Se ... se llevó a cabo junto con y justo antes de la nonagésima primera reunión anual de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes ... y la sexta Asamblea de Físicos y Matemáticos Alemanes ... La charla contribuida por Gödel tuvo lugar el sábado , 6 de septiembre [1930], desde las 3 hasta las 3:20 de la tarde, y el domingo la reunión concluyó con una mesa redonda de discusión de los discursos del primer día. Durante este último evento, sin previo aviso y casi despreocupadamente, Gödel anunció en voz baja que " incluso se pueden dar ejemplos de proposiciones (y de hecho del tipo de Goldbach o Fermat) que, si bien son verdaderas desde el punto de vista del contenido, son indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas [153] "(Dawson: 69)" ... Como sucedió, el propio Hilbert estuvo presente en Königsberg, aunque aparentemente no en la Conferencia de Epistemología. El día después de la mesa redonda pronunció el discurso de apertura ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, su famosa conferencia Naturerkennen und Logik (La lógica y el conocimiento de la naturaleza), al final de la cual declaró: `` Para el matemático no hay Ignorabimus y, en mi opinión, tampoco para las ciencias naturales. ... La verdadera razón por la que [nadie] ha logrado encontrar un problema irresoluble es, en mi opinión, que no hayproblema irresoluble. En contraste con el necio Ignorabimus, nuestro credo afirma: Debemos saber, Conoceremos [159] '"(Dawson: 71). El artículo de Gödel fue recibido el 17 de noviembre de 1930 (cf. Reid p. 197, van Heijenoort 1976: 592 ) y publicado el 25 de marzo de 1931 (Dawson 1997: 74). Pero Gödel había dado una charla al respecto de antemano ... " Hans Hahn había presentado un resumen en octubre de 1930 a la Academia de Ciencias de Viena " (van Heijenoort: 592 ); este resumen y el artículo completo aparecen en van Heijenoort: 583ff.
7. Independiente y contemporáneamente, un estudiante estadounidense de 19 años llamado Robert Lee Moore publicó un conjunto equivalente de axiomas. Algunos de los axiomas coinciden, mientras que algunos de los axiomas del sistema de Moore son teoremas del de Hilbert y viceversa. ^{[ cita requerida ]}
8. Con el tiempo, asociar las ecuaciones del campo gravitacional con el nombre de Hilbert se volvió cada vez menos común. Una notable excepción es P. Jordan (Schwerkraft und Weltall, Braunschweig, Vieweg, 1952), quien llamó a las ecuaciones de gravitación en el vacío ecuaciones de Einstein-Hilbert. ( Leo Corry, David Hilbert y la axiomatización de la física , p. 437)
9. Desde 1971 ha habido algunas discusiones animadas y académicas sobre cuál de los dos hombres presentó por primera vez la forma ahora aceptada de las ecuaciones de campo. Hilbert admitió libremente, y afirmó con frecuencia en sus conferencias, que la gran idea era de Einstein: "Todos los chicos de las calles de Göttingen comprenden más acerca de la geometría de cuatro dimensiones que Einstein", comentó una vez. "Sin embargo, a pesar de eso, Einstein sí el trabajo y no los matemáticos "(Reid 1996, págs. 141-142, también Isaacson 2007: 222 citando a Thorne pág. 119).
10. En 1926, un año después de la formulación de la mecánica matricial de la teoría cuántica por Max Born y Werner Heisenberg , el matemático John von Neumann se convirtió en asistente de Hilbert en Gotinga. Cuando von Neumann se fue en 1932, el libro de von Neumann sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, basado en las matemáticas de Hilbert, se publicó con el título Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Ver: Norman Macrae (1999) John von Neumann: El genio científico que fue pionero en la computadora moderna, la teoría de juegos, la disuasión nuclear y mucho más (reimpreso por la American Mathematical Society) y Reid (1996).
11. Este trabajo estableció a Takagi como el primer matemático japonés de talla internacional.

Citas

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30. cf. Reid 1996, págs. 148-149.
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Fuentes

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• Sieg, Wilfried y Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 981-99. (en inglés)
• Thorne, Kip , 1995. Agujeros negros y distorsiones del tiempo: el legado indignante de Einstein , WW Norton & Company; Edición de reimpresión. ISBN 0-393-31276-3 . 

enlaces externos

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Wikiquote tiene citas relacionadas con: David Hilbert

• Proyecto Hilbert Bernays
• Abordaje de los 23 problemas de Hilbert
• ICMM 2014 dedicado a la memoria de D. Hilbert
• Obras de David Hilbert en Project Gutenberg
• Obras de o sobre David Hilbert en Internet Archive
• Obras de David Hilbert en LibriVox (audiolibros de dominio público)
• Discurso de radio de Hilbert grabado en Königsberg 1930 (en alemán) , con traducción al inglés
• Wolfram MathWorld - Hilbert'Constant
• David Hilbert en el Proyecto de genealogía matemática
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "David Hilbert" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• 'From Hilbert's Problems to the Future' , conferencia del profesor Robin Wilson, Gresham College , 27 de febrero de 2008 (disponible en formatos de texto, audio y video).
• Recortes de periódicos sobre David Hilbert en los archivos de prensa del siglo XX de la ZBW