La teoría de anillos es la rama de las matemáticas en la que se estudian los anillos : es decir, estructuras que soportan tanto una operación de suma como una de multiplicación . Este es un glosario de algunos términos del tema.
Para los elementos de álgebra conmutativa (la teoría de los anillos conmutativos), consulte el glosario de álgebra conmutativa . Para conocer los conceptos de teoría de anillos en el lenguaje de los módulos, consulte también Glosario de teoría de módulos .
Para tipos específicos de álgebras, consulte también: Glosario de teoría de campos y Glosario de grupos de Lie y álgebras de Lie . Dado que, actualmente, no existe un glosario sobre estructuras de álgebra no necesariamente asociativas en general, este glosario incluye algunos conceptos que no necesitan asociatividad; por ejemplo, una derivación.
A
- Complejo Amitsur
- El complejo de Amitsur de un homomorfismo de anillo es un complejo de cocadena que mide el grado en el que el homomorfismo de anillo no logra ser fielmente plano .
- Artiniano
- Un anillo artiniano izquierdo es un anillo que satisface la condición de cadena descendente para los ideales izquierdos; un anillo artiniano correcto es aquel que satisface la condición de cadena descendente para ideales correctos. Si un anillo es Artiniano tanto a la izquierda como a la derecha, se llama Artiniano . Los anillos artinianos son anillos noetherianos.
- Teorema de Artin-Wedderbun
- El teorema de Artin-Wedderburn establece que un anillo semisimple es un producto finito de anillos de matriz (completos) sobre anillos de división.
- asociar
- En un anillo conmutativo, un elemento una se llama un asociado de un elemento b si un divide b y b se divide una .
- automorfismo
- Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo entre el mismo anillo; en otras palabras, es un elemento unitario del anillo de endomorfismo del anillo que es multiplicativo y conserva la identidad multiplicativa.
- Un automorfismo de álgebra sobre un anillo conmutativo R es un isomorfismo de álgebra entre el mismo álgebra; es un automorfismo de anillo que también es R- lineal.
- Azumaya
- Un álgebra de Azumaya es una generalización de un álgebra simple central a un anillo base que no es de campo.
B
- bidimension
- La bidimensión de un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R es la dimensión proyectiva de como un -módulo. Por ejemplo, un álgebra tiene una dimensión cero si y solo si es separable.
- booleano
- Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento es multiplicativamente idempotente .
- Brauer
- El grupo de Brauer de un campo es un grupo abeliano que consta de todas las clases de equivalencia de álgebras centrales simples sobre el campo.
C
- categoría
- La categoría de anillos es una categoría donde los objetos son (todos) los anillos y donde los morfismos son (todos) los homomorfismos del anillo.
- centrar
- 1. Un elemento r de un anillo R es el centro si xr = rx para todos x en R . El conjunto de todos los elementos centrales forma un subanillo de R , conocido como el centro de R .
- 2. Un álgebra central es un álgebra asociativa sobre el centro.
- 3. Un álgebra central simple es un álgebra central que también es un anillo simple.
- centralizador
- 1. El centralizador de un subconjunto S de un anillo es el subanillo del anillo que consiste en los elementos de trayecto con los elementos de S . Por ejemplo, el centralizador del anillo en sí es el centro del anillo.
- 2. El doble centralizador de un conjunto es el centralizador del centralizador del conjunto. Cf. teorema del doble centralizador .
- característica
- 1. La característica de un anillo es el menor entero positivo n que satisface nx = 0 para todos los elementos x del anillo, si tal n existe. De lo contrario, la característica es 0.
- 2. El subanillo característico de R es el subanillo más pequeño (es decir, el subanillo mínimo único). Es necesaria la imagen del homomorfismo de anillo único. y por lo tanto es isomorfo a donde n es la característica de R .
- cambio
- Un cambio de anillos es un funtor (entre categorías apropiadas) inducido por un homomorfismo de anillo.
- Álgebra de Clifford
- Un álgebra de Clifford es un cierto álgebra asociativa que es útil en geometría y física.
- coherente
- Un anillo coherente izquierdo es un anillo tal que cada ideal izquierdo generado de forma finita es un módulo presentado de forma finita; en otras palabras, es coherente como módulo izquierdo sobre sí mismo.
- conmutativo
- 1. Un anillo R es conmutativo si la multiplicación es conmutativa, es decir rs = sr para todos r , s ∈ R .
- 2. Un anillo R es conmutativo sesgado si dónde denota la paridad de un elemento x .
- 3. Un álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que es un anillo conmutativo.
- 4. El álgebra conmutativa es la teoría de los anillos conmutativos.
D
- derivación
- 1. Una derivación de un álgebra A posiblemente no asociativa sobre un anillo conmutativo R es un endomorfismo lineal R que satisface la regla de Leibniz .
- 2. El álgebra de derivación de un álgebra A es la subálgebra del álgebra de endomorfismo de A que consta de derivaciones.
- diferencial
- Un álgebra diferencial es un álgebra junto con una derivación.
- directo
- Un producto directo de una familia de anillos es un anillo dado tomando el producto cartesiano de los anillos dados y definiendo las operaciones algebraicas por componentes.
- divisor
- 1. En un dominio integral R , [se necesita aclaración ] un elemento a se llama divisor del elemento b (y decimos que a divide b ) si existe un elemento x en R con ax = b .
- 2. Un elemento r de R es un divisor de cero a la izquierda si existe un elemento x distinto de cero en R tal que rx = 0 y un divisor de cero derecho o si existe un elemento y diferente de cero en R tal que yr = 0 . Un elemento r de R se llama divisor de cero de dos lados si es tanto un divisor de cero a la izquierda como un divisor de cero a la derecha.
- división
- Un anillo de división o campo de sesgo es un anillo en el que cada elemento distinto de cero es una unidad y 1 ≠ 0 .
- dominio
- Un dominio es un anillo distinto de cero sin divisores de cero excepto 0. Por una razón histórica, un dominio conmutativo se denomina dominio integral .
mi
- endomorfismo
- Un anillo de endomorfismo es un anillo formado por los endomorfismos de un objeto con estructura aditiva; la multiplicación se toma como una composición de funciones , mientras que su adición es una suma puntual de las imágenes.
- álgebra envolvente
- El álgebra envolvente (universal) E de un álgebra A no necesariamente asociativa es el álgebra asociativa determinada por A de alguna manera universal. El ejemplo más conocido es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie.
- extensión
- Una extensión de anillo de un anillo R por un grupo abeliano I es un par que consta de un anillo E y un homomorfismo de anillo cuyo núcleo soy yo .
- álgebra exterior
- El álgebra exterior de un espacio vectorial o un módulo V es el cociente del álgebra tensorial de V por el ideal generado por elementos de la forma .
F
- campo
- Un campo es un anillo de división conmutativa; es decir, un anillo distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero es invertible.
- anillo filtrado
- Un anillo filtrado es un anillo con filtración.
- finamente generado
- 1. Un ideal de izquierda I se genera de forma finita si existen un número finito de elementos a 1 , ..., a n tales que I = Ra 1 + ... + Ra n . Un ideal justo I se finitamente generado si existen un número finito de elementos de un 1 , ..., un n tal que I = un 1 R + ... + a n R . Un ideales de dos caras que se finitamente generado si existen un número finito de elementos de un 1 , ..., un n tal que I = Ra 1 R + ... + Ra n R .
- 2. Un anillo de generación finita es un anillo que se genera de manera finita como Z- álgebra.
- finamente presentado
- Un álgebra finamente presentada sobre un anillo conmutativo R es un álgebra asociativa (conmutativa) que es un cociente de un anillo polinomial sobre R en un número finito de variables por un ideal finitamente generado . [1]
- libre
- 1. Un anillo ideal libre o un abeto es un anillo en el que todo ideal correcto es un módulo libre de rango fijo.
- 2. Un semifir es un anillo en el que cada ideal derecho finitamente generado es un módulo libre de rango fijo.
- 3. El producto libre de una familia asociativa es un álgebra asociativa obtenida, aproximadamente, por los generadores y las relaciones de las álgebras en la familia. La noción depende de qué categoría de álgebra asociativa se considere; por ejemplo, en la categoría de anillos conmutativos, un producto gratuito es un producto tensorial.
- 4. Un anillo libre es un anillo que es un álgebra libre sobre los números enteros.
- calificado
- Un anillo graduado es un anillo junto con una clasificación o una graduación; es decir, es una suma directa de subgrupos aditivos con la multiplicación que respeta la calificación. Por ejemplo, un anillo polinomial es un anillo graduado por grados de polinomios.
- generar
- Un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R se dice que es generada por un subconjunto S de A si el subálgebra más pequeño que contiene S es A sí mismo y S se dice que es el conjunto de generación de A . Si hay un conjunto generador finito, se dice que A es un álgebra generada finitamente .
- hereditario
- Un anillo se deja hereditario si sus ideales izquierdos son todos módulos proyectivos. Los anillos hereditarios derechos se definen de forma análoga.
- ideal
- Un ideal a izquierda I de R es un subgrupo aditivo de R tal que aI ⊆ I para todos un ∈ R . Un ideal justo es un subgrupo de R tal que Ia ⊆ I para todos un ∈ R . Un ideal (a veces llamado ideal de dos caras para enfatizar) es un subgrupo que es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha.
- idempotente
- Un elemento r de un anillo es idempotente si r 2 = r .
- dominio integral
- " dominio integral " o " anillo completo " es otro nombre para un dominio conmutativo ; es decir, un anillo conmutativo distinto de cero sin divisores de cero excepto 0.
- invariante
- Un anillo R tiene un número base invariante si R m isomorfo a R n ya que R -módulos implica m = n .
- irreducible
- Un elemento x de un dominio integral es irreducible si no es una unidad y para cualquier elemento a y b tal que x = ab , a o b es una unidad. Tenga en cuenta que todos los elementos primos son irreductibles, pero no necesariamente al revés.
- Jacobson
- 1. El radical de Jacobson de un anillo es la intersección de todos los ideales máximos de izquierda.
- 2. Un anillo de Jacobson es un anillo en el que cada ideal primo es una intersección de ideales primitivos.
- núcleo
- El núcleo de un homomorfismo de anillo de un homomorfismo de anillo f : R → S es el conjunto de todos los elementos x de R tales que f ( x ) = 0 . Todo ideal es el núcleo de un homomorfismo de anillo y viceversa.
- Köthe
- La conjetura de Köthe establece que si un anillo tiene un ideal correcto nulo distinto de cero, entonces tiene un ideal nulo distinto de cero.
- local
- 1. Un anillo con un ideal izquierdo máximo único es un anillo local . Estos anillos también tienen un ideal máximo derecho único, y los ideales máximos únicos izquierdo y derecho coinciden. Ciertos anillos conmutativos se pueden incrustar en anillos locales mediante la localización en un ideal principal .
- 2. Una localización de un anillo : para anillos conmutativos, una técnica para convertir un conjunto dado de elementos de un anillo en unidades. Se denomina Localización porque se puede utilizar para convertir cualquier anillo en un anillo local . Para localizar un anillo R , tomar un subconjunto multiplicativa cerrada S que no contiene cero divisores , y definir formalmente sus inversos multiplicativos, que se añadirán en R . La localización en anillos no conmutativos es más complicada y se ha definido de varias formas diferentes.
- mínimo y máximo
- 1. Un ideal izquierdo M del anillo R es un ideal izquierdo máximo (resp. Ideal mínimo izquierdo) si es máximo (resp. Mínimo) entre los ideales izquierdos adecuados (resp. Distinto de cero). Los ideales correctos máximos (o mínimos) se definen de manera similar.
- 2. Un subanillo máximo es un subanillo que es máximo entre los subanillos adecuados. Un "subanillo mínimo" se puede definir de forma análoga; es único y se denomina subanillo característico .
- matriz
- 1. Un anillo de la matriz sobre un anillo R es un anillo cuyos elementos son matrices cuadradas de tamaño fijo con las entradas en R . El anillo de matriz o el anillo de matriz completa de matrices más de R es el anillo de la matriz que consiste en todas las matrices cuadradas de tamaño fijo con las entradas en R . Cuando la construcción gramatical no es viable, el término "anillo de matriz" a menudo se refiere al anillo de matriz "completo" cuando el contexto no crea confusión probable; por ejemplo, cuando se dice que un anillo semsimple es producto de anillos de matriz de anillos de división, se asume implícitamente que "anillos de matriz" se refieren a "anillos de matriz completa". Cada anillo es (isomorfo) el anillo de matriz completo sobre sí mismo.
- 2. El anillo de matrices genéricas es el anillo que consta de matrices cuadradas con entradas en variables formales.
- monoide
- Un anillo monoide .
- Morita
- Se dice que dos anillos son equivalentes a Morita si la categoría de módulos sobre uno es equivalente a la categoría de módulos sobre el otro.
- acercándose
- Un nearring es una estructura que es un grupo bajo suma, un semigrupo bajo multiplicación, y cuya multiplicación se distribuye a la derecha sobre suma.
- nulo
- 1. Un ideal nulo es un ideal que consta de elementos nilpotentes.
- 2. El radical cero superior (Baer) es la suma de todos los ideales cero.
- 3. El radical cero inferior (Baer) es la intersección de todos los ideales primos. Para un anillo conmutativo, el radical cero superior y el radical cero inferior coinciden.
- nilpotente
- 1. Un elemento r de R es nilpotente si existe un entero positivo n tal que r n = 0 .
- 2. Un ideal nulo es un ideal cuyos elementos son elementos nilpotentes.
- 3. Un ideal nilpotente es un ideal cuya potencia I k es {0} para algún entero positivo k . Todo ideal nilpotente es nulo, pero lo contrario no es cierto en general.
- 4. El nilradical de un anillo conmutativo es el ideal que consta de todos los elementos nilpotentes del anillo. Es igual a la intersección de todos los ideales principales del anillo y está contenido en el radical Jacobson del anillo, pero en general no es igual.
- Noetherian
- Un anillo noetheriano izquierdo es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente para los ideales izquierdos. Un Noetheriano derecho se define de manera similar y un anillo que es Noetheriano izquierdo y derecho es Noetheriano . Un anillo se deja noetheriano si y solo si todos sus ideales izquierdos se generan finitamente; análogamente para los anillos noetherianos derechos.
- nulo
- anillo nulo : Ver rng del cuadrado cero .
- opuesto
- Dado un anillo R , su opuesto anillo R op tiene el mismo conjunto subyacente como R , la operación de suma se define como en R , pero el producto de s y r en R op es rs , mientras que el producto es sr en R .
- pedido
- Un orden de un álgebra es (aproximadamente) una subálgebra que también es un entramado completo.
- Mineral
- Un dominio de mineral izquierdo es un dominio (no conmutativo) para el cual el conjunto de elementos distintos de cero satisface la condición de mineral izquierdo. Un dominio de Mineral derecho se define de manera similar.
- Perfecto
- Un anillo perfecto de izquierda es aquel que satisface la condición de cadena descendente en los ideales principales de la derecha . También se caracterizan por ser anillos cuyos módulos planos izquierdos son todos módulos proyectivos. Los anillos perfectos derechos se definen de forma análoga. Los anillos artinianos son perfectos.
- polinomio
- 1. Un anillo de polinomios sobre un anillo conmutativo R es un anillo conmutativo que consiste en todos los polinomios en las variables especificadas con coeficientes en R .
- 2. Un anillo polinomial sesgado
- Dado R un anillo y un endomorfismo de R . El anillo polinomial sesgado se define como el conjunto , con la suma definida como de costumbre, y la multiplicación definida por la relación .
- principal
- 1. Un elemento x de un dominio integral es un elemento primo si no es cero ni una unidad y siempre que x divide un producto ab , x divide a o x divide b .
- 2. Un ideal P en un anillo conmutativo R es primordial si P ≠ R y si para todo un y b en R con ab en P , disponemos de una en P o b en P . Todo ideal máximo en un anillo conmutativo es primo.
- 3. Un P ideal en un anillo (no necesariamente conmutativo) R es primo si P ≠ R y para todos los ideales A y B de R , implica o . Esto amplía la definición de anillos conmutativos.
- 4. anillo primo : A distinto de cero anillo R que se llama un anillo primo si para cualquier par de elementos de una y b de R con aRb = 0 , tenemos ya sea un = 0 o b = 0 . Esto equivale a decir que el ideal cero es un ideal primo (en el sentido no conmutativo). Cada anillo simple y cada dominio es un anillo primo.
- primitivo
- 1. Un anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo R izquierdo simple fiel . Cada anillo simple es primitivo. Los anillos primitivos son primordiales .
- 2. Se dice que un I ideal de un anillo R es primitivo si es primitivo.
- principal
- Un ideales principales : Un director ideal a izquierda en un anillo R es un ideal a izquierda de la forma de Ra por algún elemento de un de R . Un ideal justo director es un ideal justo de la forma aR por algún elemento de un de R . Una de ideal principal es un ideales de dos caras de la forma RaR por algún elemento de un de R .
- principal
- 1. Un dominio ideal principal es un dominio integral en el que todo ideal es principal.
- 2. Un anillo ideal principal es un anillo en el que todo ideal es principal.
GRAMO
H
I
J
K
L
METRO
norte
O
PAG
Q
- cuasi-Frobenius
- anillo cuasi-Frobenius : un tipo especial de anillo artiniano que también es un anillo autoinyectable en ambos lados. Cada anillo semisimple es cuasi-Frobenius.
- anillo cociente o anillo factorial : Dado un anillo R y un I ideal de R , el anillo cociente es el anillo formado por el conjunto R / I de clases laterales { a + I : a ∈ R } junto con las operaciones ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I y ( un + I ) ( b + I ) = ab + I . La relación entre ideales, homomorfismos y anillos de factores se resume en el teorema fundamental de los homomorfismos .
R
- radical
- El radical de un ideal I en un anillo conmutativo consiste de todos aquellos elementos de anillo una potencia de que se encuentra en I . Es igual a la intersección de todos los ideales primos que contienen I .
- anillo
- 1. Un conjunto R con dos operaciones binarias , generalmente llamadas suma (+) y multiplicación (×), tal que R es un grupo abeliano bajo suma, R es un monoide bajo multiplicación y la multiplicación es distributiva tanto a la izquierda como a la derecha sobre la suma. Se supone que los anillos tienen identidades multiplicativas a menos que se indique lo contrario. La identidad aditiva se denota con 0 y la identidad multiplicativa con 1. ( Advertencia : algunos libros, especialmente los libros más antiguos, usan el término "anillo" para referirse a lo que aquí se llamará un rng ; es decir, no requieren un anillo para tener una identidad multiplicativa.)
- 2. Un homomorfismo de anillo : una función f : R → S entre anillos ( R , +, ∗) y ( S , ⊕, ×) es un homomorfismo de anillo si satisface
- f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )
- f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )
- f (1) = 1
- para todos los elementos de una y b de R .
S
- autoinyectivo
- Un anillo R se deja autoinyectable si el módulo R R es un módulo inyectable . Si bien los anillos con unidad son siempre proyectivos como módulos, no siempre son inyectivos como módulos.
- semiperfecto
- Un anillo semiperfecto es un anillo R tal que, para el radical Jacobson de R , (1) es semisimple y (2) idempotents lift modulo .
- semiprimario
- Un anillo semiprimario es un anillo R tal que, para el radical de Jacobson de R , (1) es semisimple y (2) es un ideal nilpotente .
- semiprime
- 1. Un anillo semiprime es un anillo donde el único ideal nilpotente es el ideal trivial. . Un anillo conmutativo es semiprime si y solo si se reduce.
- 2. Un ideal I de un anillo R es semiprime si para cualquier ideal A de R , implica . De manera equivalente, yo es semiprime si y solo si es un anillo semiprime.
- semiprimitivo
- Un anillo semiprimitivo o anillo semisimple de Jacobson es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero. Los anillos regulares y primitivos de Von Neumann son semiprimitivos, sin embargo, los anillos cuasi-Frobenius y los anillos locales no suelen ser semiprimitivos.
- semiringuito
- Un semiring : Una estructura algebraica que satisface las mismas propiedades que un anillo, excepto que la adición solo necesita ser una operación de monoide abeliano , en lugar de una operación de grupo abeliano. Es decir, los elementos en un semiring no necesitan tener inversos aditivos.
- semisimple
- Un anillo semisimple es un anillo artiniano R que es un producto finito de anillos artinianos simples; en otras palabras, es un módulo R izquierdo semisimple .
- separable
- Un álgebra separable es un álgebra asociativa cuyo tensor-cuadrado admite una separabilidad idempotente .
- de serie
- Un anillo en serie derecho es un anillo que es un módulo en serie derecho sobre sí mismo.
- Severi – Brauer
- La variedad Severi-Brauer es una variedad algebraica asociada a un álgebra simple central dada.
- sencillo
- 1. Un anillo simple es un anillo distinto de cero que solo tiene ideales bilaterales triviales (el ideal cero, el anillo en sí, y nada más) es un anillo simple .
- 2. Un álgebra simple es un álgebra asociativa que es un anillo simple.
- subring
- Un subanillo es un subconjunto S del anillo ( R , +, ×), que sigue siendo un anillo cuando + y × se limita a S y contiene la identidad multiplicativa 1 de R .
- álgebra simétrica
- 1. El álgebra simétrica de un espacio vectorial o un módulo V es el cociente del álgebra tensorial de V por el ideal generado por elementos de la forma .
- 2. El álgebra simétrica gradual de un espacio vectorial o un módulo V es una variante del álgebra simétrica que se construye teniendo en cuenta la calificación.
- Dominio de Sylvester
- Un dominio de Sylvester es un anillo en el que se cumple la ley de nulidad de Sylvester .
T
- tensor
- El álgebra del producto tensorial de las álgebras asociativas es el producto tensorial de las álgebras como los módulos con multiplicación de componentes
- El álgebra tensorial de un espacio vectorial o un módulo V es la suma directa de todas las potencias del tensor. con la multiplicación dada por el producto tensorial.
- trivial
- 1. Un ideal trivial es el cero o el ideal unitario.
- 2. El anillo trivial o anillo cero es el anillo que consta de un solo elemento 0 = 1 .
U
- unidad
- unidad o elemento invertible : Un elemento r del anillo R es una unidad si existe un elemento r −1 tal que rr −1 = r −1 r = 1 . Este elemento r −1 está determinado únicamente por r y se llama el inverso multiplicativo de r . El conjunto de unidades forma un grupo bajo multiplicación.
- unidad
- El término "unidad" es otro nombre para la identidad multiplicativa.
- único
- Un dominio de factorización única o anillo factorial es un dominio de integridad R en el que cada no cero no unidad de elemento se puede escribir como un producto de los elementos principales de R .
- uniserial
- Un anillo uniserial derecho es un anillo que es un módulo uniserial derecho sobre sí mismo. Un anillo uniserial conmutativo también se denomina anillo de valoración .
V
- elemento regular de von Neumann
- 1. Elemento regular de von Neumann : Un elemento r de un anillo R es regular de von Neumann si existe un elemento x de R tal que r = rxr .
- 2. Un anillo regular de von Neumann : Un anillo para el cual cada elemento a se puede expresar como a = axa para otro elemento x en el anillo. Los anillos semisimple son regulares de von Neumann.
Z
- cero
- Un anillo cero : el anillo que consta de un solo elemento 0 = 1 , también llamado anillo trivial . A veces, "anillo cero" se utiliza alternativamente para significar rng de cero cuadrado .
Ver también
- Glosario de teoría de módulos
Notas
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1964 , §1.4.1
Referencias
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
- Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor 0173675 .
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica 1 (2.a ed.), Dover
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica 2 (2a ed.), Dover
- Nathan Jacobson, Estructura de anillos