En análisis , una rama de las matemáticas, la desigualdad de Hilbert establece que
para cualquier secuencia u 1 , u 2 , ... de números complejos. Fue demostrado por primera vez por David Hilbert con la constante 2 π en lugar de π ; la constante aguda fue encontrada por Issai Schur . Implica que la transformada discreta de Hilbert es un operador acotado en ℓ 2 .
Formulación
Sea ( u m ) una secuencia de números complejos. Si la secuencia es infinita, suponga que es sumable al cuadrado:
La desigualdad de Hilbert (ver Steele (2004) ) afirma que
Extensiones
En 1973, Montgomery & Vaughan reportaron varias generalizaciones de la desigualdad de Hilbert, considerando las formas bilineales
y
donde x 1 , x 2 , ..., x m son números reales distintos módulo 1 (es decir, pertenecen a clases distintas en el grupo de cocientes R / Z ) y λ 1 , ..., λ m son números reales distintos. Las generalizaciones de Montgomery & Vaughan sobre la desigualdad de Hilbert vienen dadas por
y
dónde
es la distancia de s al número entero más cercano, y min + denota el valor positivo más pequeño. Además, si
entonces se mantienen las siguientes desigualdades:
y
Referencias
- Capítulo de libro en línea Desigualdad y compensación de dificultades de Hilbert extraído de Steele, J. Michael (2004). "Capítulo 10: Desigualdad de Hilbert y compensación de dificultades" . La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 155-165. ISBN 0-521-54677-X..
- Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1974). "Desigualdad de Hilbert". J. London Math. Soc . Serie 2. 8 : 73–82. doi : 10.1112 / jlms / s2-8.1.73 . ISSN 0024-6107 .
enlaces externos
- Godunova, EK (2001) [1994], "Desigualdad de Hilbert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press