La paradoja de Hilbert-Bernays es una paradoja distintiva que pertenece a la familia de las paradojas de la referencia (como la paradoja de Berry ). Lleva el nombre de David Hilbert y Paul Bernays .
Historia
La paradoja aparece en Grundlagen der Mathematik de Hilbert y Bernays y es utilizada por ellos para mostrar que una teoría consistente suficientemente fuerte no puede contener su propio funtor de referencia. [1] Aunque ha pasado desapercibido en el transcurso del siglo XX, recientemente ha sido redescubierto y apreciado por las dificultades distintivas que presenta. [2]
Formulación
Así como la propiedad semántica de la verdad parece regirse por el esquema ingenuo:
- (T) La oración ′ P ′ es verdadera si y solo si P
(donde las comillas simples se refieren a la expresión lingüística dentro de las comillas), la propiedad semántica de la referencia parece regirse por el esquema ingenuo:
- (R) Si a existe, el referente del nombre ′ a ′ es idéntico a un
Sin embargo, considere un nombre h para números (naturales) que satisfagan:
- (H) h es idéntica a ′ (el referente de h ) +1 ′
Supongamos que, para algún número n :
- (1) El referente de h es idéntico a n
Entonces, seguramente, existe el referente de h , y también (el referente de h ) +1. Por (R), se sigue que:
- (2) El referente de ′ (el referente de h ) +1 ′ es idéntico a (el referente de h ) +1
y así, por (H) y el principio de indiscernibilidad de idénticos , es el caso que:
- (3) El referente de h es idéntico a (el referente de h ) +1
Pero, nuevamente por la indiscernibilidad de idénticos, (1) y (3) producen:
- (4) El referente de h es idéntico a n +1
y, por transitividad de identidad , (1) junto con (4) produce:
- (5) n es idéntico a n +1
Pero (5) es absurdo, ya que ningún número es idéntico a su sucesor.
Soluciones
Dado que toda teoría suficientemente fuerte tendrá que aceptar algo como (H), [se necesita aclaración ] el absurdo solo puede evitarse rechazando el principio de referencia ingenua (R) o rechazando la lógica clásica (que valida el razonamiento de (R) y (H) al absurdo). En el primer enfoque, típicamente todo lo que se diga sobre la paradoja del Mentiroso se traslada sin problemas a la paradoja de Hilbert-Bernays. [3] En cambio, la paradoja presenta dificultades distintivas para muchas soluciones que persiguen el segundo enfoque: por ejemplo, las soluciones a la paradoja del mentiroso que rechazan la ley del medio excluido (que no es utilizada por la paradoja de Hilbert-Bernays) han negado que exista tal una cosa como referente de h ; [4] Las soluciones a la paradoja del Mentiroso que rechazan la ley de la no contradicción (que tampoco es utilizada por la paradoja de Hilbert-Bernays) han afirmado que h se refiere a más de un objeto. [5]
Referencias
- ^ Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik . Berlín: Springer. págs. 263-278.
- ^ Sacerdote, Graham (2005). Hacia el no ser . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 156-178.
- ^ Keith Simmons (2003). "Referencia y paradoja". En Beall, JC (ed.). Mentirosos y montones . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 230–252.
- ^ Field, Hartry (2008). Salvando la verdad de la paradoja . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 291-293.
- ^ Sacerdote, Graham (2005). Hacia el no ser . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 156-178.