Operador de Hilbert-Schmidt

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En matemáticas , un operador de Hilbert-Schmidt , llamado así por David Hilbert y Erhard Schmidt , es un operador acotado que actúa en un espacio de Hilbert y tiene una norma finita de Hilbert-Schmidt${\ Displaystyle A \ dos puntos H \ a H}$ ${\ Displaystyle H}$

donde es una base ortonormal . ^{[1] [2]} No es necesario que el conjunto de índices sea ​​contable. Sin embargo, la suma de la derecha debe contener como máximo numerablemente muchos términos distintos de cero para que tenga significado. ^[3] Esta definición es independiente de la elección de la base ortonormal. En el espacio euclidiano de dimensión finita , la norma de Hilbert-Schmidt es idéntica a la norma de Frobenius . ${\ Displaystyle \ {e_ {i}: i \ in I \}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ text {HS}}}$

La norma de Hilbert-Schmidt no depende de la elección de la base ortonormal. De hecho, si y son tales bases, entonces${\ Displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle \ {f_ {j} \} _ {j \ in I}}$

Si entonces Como para cualquier operador acotado, Reemplazando con en la primera fórmula, obtenga La independencia siguiente.${\ Displaystyle e_ {i} = f_ {i},}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {i} \ | Ae_ {i} \ | ^ {2} = \ sum _ {i} \ | A ^ {*} e_ {i} \ | ^ {2}.}$${\ Displaystyle A = A ^ {**}.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {i} \ | A ^ {*} e_ {i} \ | ^ {2} = \ sum _ {j} \ | Af_ {j} \ | ^ {2}.}$

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