En matemáticas , particularmente álgebra lineal , una base ortonormal para un espacio de producto interno V con dimensión finita es una base para V cuyos vectores son ortonormales , es decir, todos son vectores unitarios y ortogonales entre sí. [1] [2] [3] Por ejemplo, la base estándar para un espacio euclidiano R n es una base ortonormal, donde el producto interno relevante es el producto escalar de los vectores. La imagende la base estándar bajo una rotación o reflexión (o cualquier transformación ortogonal ) también es ortonormal, y toda base ortonormal para R n surge de esta manera.
Para un espacio con producto interno general de V , una base ortonormal se puede utilizar para definir normalizados coordenadas ortogonales en V . Bajo estas coordenadas, el producto interno se convierte en un producto escalar de vectores. Por tanto, la presencia de una base ortonormal reduce el estudio de un espacio de producto interno de dimensión finita al estudio de R n bajo el producto escalar. Cada espacio de producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal, que puede obtenerse de forma arbitraria mediante el proceso de Gram-Schmidt .
En el análisis funcional , el concepto de base ortonormal puede generalizarse a espacios de producto internos arbitrarios (de dimensión infinita) . [4] Dado un espacio H anterior a Hilbert , una base ortonormal para H es un conjunto ortonormal de vectores con la propiedad de que cada vector en H puede escribirse como una combinación lineal infinita de los vectores en la base. En este caso, la base ortonormal a veces se llama una base de Hilbert de H . Tenga en cuenta que una base ortonormal en este sentido no es generalmente una base de Hamel , ya que se requieren infinitas combinaciones lineales. Específicamente, el tramo lineal de la base debe ser denso en H , pero puede que no sea el espacio completo.
Si pasamos a los espacios de Hilbert , un conjunto de vectores no ortonormales que tienen el mismo lapso lineal que una base ortonormal puede no ser una base en absoluto. Por ejemplo, cualquier función cuadrática integrable en el intervalo [-1, 1] puede expresarse ( casi en todas partes ) como una suma infinita de polinomios de Legendre (una base ortonormal), pero no necesariamente como una suma infinita de los monomios x n .
Ejemplos de
- El conjunto de vectores { e 1 = (1, 0, 0) , e 2 = (0, 1, 0) , e 3 = (0, 0, 1) } (la base estándar) forma una base ortonormal de R 3 .
- Prueba: muestra un cálculo sencillo que los productos internos de estos vectores es igual a cero, ⟨ e 1 , e 2 ⟩ = ⟨ e 1 , e 3 ⟩ = ⟨ e 2 , e 3 ⟩ = 0 y que cada uno de sus magnitudes es igual a uno, || e 1 || = || e 2 || = || e 3 || = 1 . Esto significa que { e 1 , e 2 , e 3 } es un conjunto ortonormal. Todos los vectores ( x , y , z ) en R 3 se pueden expresar como una suma de los vectores base escalados
- por lo que { e 1 , e 2 , e 3 } abarca R 3 y, por tanto, debe ser una base. También se puede mostrar que la base estándar rotada alrededor de un eje a través del origen o reflejada en un plano a través del origen forma una base ortonormal de R 3 .
- Prueba: muestra un cálculo sencillo que los productos internos de estos vectores es igual a cero, ⟨ e 1 , e 2 ⟩ = ⟨ e 1 , e 3 ⟩ = ⟨ e 2 , e 3 ⟩ = 0 y que cada uno de sus magnitudes es igual a uno, || e 1 || = || e 2 || = || e 3 || = 1 . Esto significa que { e 1 , e 2 , e 3 } es un conjunto ortonormal. Todos los vectores ( x , y , z ) en R 3 se pueden expresar como una suma de los vectores base escalados
- Observe que una transformación ortogonal del espacio estándar del producto interno se puede utilizar para construir otras bases ortogonales de .
- El conjunto { f n : n ∈ Z } con f n ( x ) = exp (2π inx ) forma una base ortonormal del espacio de funciones con integrales finitas de Lebesgue, L 2 ([0,1]), con respecto a la 2-norma . Esto es fundamental para el estudio de las series de Fourier .
- El conjunto { e b : b ∈ B } con e b ( c ) = 1 si b = cy 0 en caso contrario forma una base ortonormal de ℓ 2 ( B ).
- Funciones propias de un problema propio de Sturm-Liouville .
- Una matriz ortogonal es una matriz cuyos vectores columna forman un conjunto ortonormal.
Fórmula básica
Si B es una base ortogonal de H , entonces cada elemento x de H puede escribirse como
Cuando B es ortonormal, esto se simplifica a
y el cuadrado de la norma de x puede estar dado por
Incluso si B es incontable , solo numerablemente muchos términos en esta suma serán distintos de cero y, por lo tanto, la expresión está bien definida. Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x , y la fórmula generalmente se conoce como identidad de Parseval .
Si B es una base ortonormal de H , entonces H es isomorfo a ℓ 2 ( B ) en el siguiente sentido: existe un mapa lineal biyectivo Φ: H → ℓ 2 ( B ) tal que
para todos los x y y en H .
Conjuntos ortogonales incompletos
Dado un espacio de Hilbert H y un conjunto S de vectores mutuamente ortogonales en H , podemos tomar el más pequeño cerrado subespacio lineal V de H que contiene S . Entonces S será una base ortogonal de V ; que, por supuesto, puede ser más pequeño que el propio H , siendo un conjunto ortogonal incompleto , o ser H , cuando es un conjunto ortogonal completo .
Existencia
Usando el lema de Zorn y el proceso de Gram-Schmidt (o más simplemente recursión transfinita y ordenada), se puede demostrar que cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal; [5] además, dos bases ortonormales cualesquiera del mismo espacio tienen la misma cardinalidad (esto se puede probar de una manera similar a la de la demostración del teorema de la dimensión habitual para espacios vectoriales , con casos separados dependiendo de si el candidato de base mayor es contable o no). Un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal contable . (Se puede probar esta última afirmación sin utilizar el axioma de elección).
Como un espacio homogéneo
El conjunto de bases ortonormales de un espacio es un espacio homogéneo principal para el grupo ortogonal O ( n ), y se denomina variedad Stiefel. de n- frames ortonormales . [6]
En otras palabras, el espacio de las bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin una opción de punto de base: dado un espacio ortogonal, no hay una elección natural de base ortonormal, pero una vez que se le da una, hay un uno a otro. -una correspondencia entre las bases y el grupo ortogonal. Concretamente, un mapa lineal está determinado por dónde envía una base dada: así como un mapa invertible puede tomar cualquier base a cualquier otra base, un mapa ortogonal puede tomar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal .
Los otros colectores Stiefel por de bases ortonormales incompletas (fotogramas k ortonormales ) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier fotograma k puede llevarse a cualquier otro fotograma k mediante un mapa ortogonal, pero este mapa no está determinado de forma única .
Ver también
- Base (álgebra lineal)
- Marco ortonormal
- Base de Schauder
- Conjunto total
Referencias
- ^ Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.). Addison – Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054234-1.
- ^ Autores del análisis funcional lineal : Rynne, Bryan, Youngson, MA página 79
- ^ "Facultad de CU" . engfac.cooper.edu . Consultado el 15 de abril de 2021 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .