En el análisis funcional , un operador lineal acotado es una transformación lineal L : X → Y entre espacios vectoriales topológicos (TVSS) X y Y que los mapas delimitada subconjuntos de X a subconjuntos acotados de Y . Si X e Y son espacios vectoriales normativos (un tipo especial de TVS), entonces L está acotado si y solo si existe algún M ≥ 0 tal que para todo x en X ,
- || Lx || Y ≤ M || x || X .
El más pequeño de tales M , denotado por || L || , Se llama la norma operador de L .
Un operador lineal secuencialmente continuo o continuo es un operador acotado y, además, un operador lineal entre espacios normativos está acotado si y solo si es continuo. Sin embargo, un operador lineal acotado entre espacios vectoriales topológicos más generales no es necesariamente continuo.
En espacios vectoriales topológicos
Un operador lineal F : X → Y entre dos espacios vectoriales topológicos (TVSS) está delimitada localmente o simplemente limitada si cada vez que B ⊆ X está delimitada en X entonces F ( B ) está delimitada en Y . Un subconjunto de un TVS se llama acotado (o más precisamente, acotado de von Neumann ) si cada vecindario del origen lo absorbe . En un espacio normado (e incluso en un espacio seminormado ), un subconjunto está limitado por von Neumann si y solo si está limitado por normas. Por tanto, para los espacios normativos, la noción de un conjunto acotado de von Neumann es idéntica a la noción habitual de un subconjunto acotado por normas.
Cada operador lineal secuencialmente continuo entre TVS es un operador acotado. [1] Esto implica que todo operador lineal continuo está acotado. Sin embargo, en general, un operador lineal acotado entre dos TVS no necesita ser continuo.
Esta formulación permite definir operadores acotados entre espacios vectoriales topológicos generales como un operador que lleva conjuntos acotados a conjuntos acotados. En este contexto, sigue siendo cierto que todo mapa continuo está acotado, sin embargo, lo contrario falla; un operador acotado no necesita ser continuo. Claramente, esto también significa que la delimitación ya no es equivalente a la continuidad de Lipschitz en este contexto.
Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable , un espacio de Fréchet , un espacio normado ) entonces un operador lineal en cualquier otro espacio convexo local está acotado si y solo si es continuo. Para los espacios LF , se mantiene un inverso más débil; cualquier mapa lineal acotado de un espacio LF es secuencialmente continuo .
Espacios bornológicos
Los espacios bornológicos son exactamente aquellos espacios localmente convexos para cada operador lineal acotado en otro espacio localmente convexo que está necesariamente acotado. Es decir, un TVS X localmente convexo es un espacio bornológico si y solo si para cada TVS Y localmente convexo , un operador lineal F : X → Y es continuo si y solo si está acotado. [2]
Todo espacio normado es bornológico.
Caracterizaciones de operadores lineales acotados
Sea F : X → Y un operador lineal entre TVS (no necesariamente Hausdorff). Los siguientes son equivalentes:
- F está acotado (localmente); [2]
- (Definición): F mapea subconjuntos delimitados de su dominio a subconjuntos delimitados de su codominio; [2]
- F mapea subconjuntos delimitados de su dominio a subconjuntos delimitados de su imagen Im F : = F ( X ) ; [2]
- F mapea cada secuencia nula a una secuencia acotada; [2]
- Una secuencia nula es, por definición, una secuencia que converge al origen.
- Por tanto, cualquier mapa lineal que sea secuencialmente continuo en el origen es necesariamente un mapa lineal acotado.
- F mapea cada secuencia convergente nula Mackey a un subconjunto limitado de Y . [nota 1]
- Una secuencia x • = ( x i )∞
yo = 1se dice que es Mackey convergente al origen ensi existe una secuencia divergente r • = ( r i )∞
yo = 1→ ∞ de número real positivo tal que ( r i x i )∞
yo = 1 es un subconjunto acotado de
- Una secuencia x • = ( x i )∞
y si además X e Y son localmente convexos, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:
- F mapea discos delimitados en discos delimitados. [3]
- F -1 mapas bornivorous discos en Y en discos bornivorous en X . [3]
y si además X es un espacio bornológico e Y es localmente convexo, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:
- F es secuencialmente continuo. [4]
- F es secuencialmente continua en el origen.
Operadores lineales acotados entre espacios normativos
Un operador lineal acotado generalmente no es una función acotada , ya que generalmente se puede encontrar una secuencia x • = ( x i )∞
yo = 1en X tal que. En cambio, todo lo que se requiere para que el operador esté acotado es que
para todo x ≠ 0 . Entonces, el operador L solo podría ser una función acotada si satisface L ( x ) = 0 para todo x , como es fácil de entender considerando que para un operador lineal,para todos los escalares a . Más bien, un operador lineal acotado es una función acotada localmente .
Un operador lineal entre espacios normativos está acotado si y solo si es continuo , y por linealidad, si y solo si es continuo en cero.
Equivalencia de delimitación y continuidad
Como se indicó en la introducción, un operador lineal L entre los espacios normativos X e Y está acotado si y solo si es un operador lineal continuo . La prueba es como sigue.
Suponga que L está acotado. Entonces, para todos los vectores x , h ∈ X con h distinto de cero tenemos
Dejando ir a cero muestra que L es continua en x . Además, dado que la constante M no depende de x , esto muestra que, de hecho, L es uniformemente continua , e incluso Lipschitz continua .
Por el contrario, de la continuidad en el vector cero se deduce que existe un tal que para todos los vectores h ∈ X con. Por lo tanto, para todo x ∈ X distinto de cero , uno tiene
Esto prueba que L está acotado.
Otras propiedades
La condición para que L esté acotada, es decir, que exista algo M tal que para todo x
es precisamente la condición para que L sea Lipschitz continuo en 0 (y por lo tanto en todas partes, porque L es lineal).
Un procedimiento común para definir un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach dados es el siguiente. Primero, defina un operador lineal en un subconjunto denso de su dominio, de modo que esté limitado localmente. Luego, extienda el operador por continuidad a un operador lineal continuo en todo el dominio .
Ejemplos de
- Cualquier operador lineal entre dos espacios normados de dimensión finita está acotado, y dicho operador puede verse como una multiplicación por alguna matriz fija .
- Cualquier operador lineal definido en un espacio normado de dimensión finita está acotado.
- En el espacio de secuencia c 00 de secuencias eventualmente cero de números reales, consideradas con la norma ℓ 1 , el operador lineal a los números reales que devuelve la suma de una secuencia está acotado, con la norma de operador 1. Si se considera el mismo espacio con la norma ℓ ∞ , el mismo operador no está acotado.
- Muchas transformadas integrales son operadores lineales acotados. Por ejemplo, si
- El operador de Laplace
- El operador de desplazamiento en el espacio l 2 de todas las secuencias ( x 0 , x 1 , x 2 ...) de números reales con
Operadores lineales ilimitados
No todos los operadores lineales entre espacios normativos están delimitados. Sea X el espacio de todos los polinomios trigonométricos definidos en [−π, π], con la norma
Defina el operador L : X → X que actúa tomando la derivada , por lo que mapea un polinomio P a su derivada P ′. Entonces para
con n = 1, 2, .... , tenemos tiempo como n → ∞ , por lo que este operador no está acotado.
Resulta que este no es un ejemplo singular, sino más bien parte de una regla general. Sin embargo, dado cualquier espacios normados X y Y con X de dimensión infinita y Y no siendo el espacio cero, uno puede encontrar un operador lineal que no es continua desde X a Y .
Que un operador tan básico como la derivada (y otros) no esté acotado hace que sea más difícil de estudiar. Sin embargo, si se define cuidadosamente el dominio y el rango del operador derivado, se puede mostrar que es un operador cerrado . Los operadores cerrados son más generales que los operadores acotados, pero aún se "comportan bien" en muchos sentidos.
Propiedades del espacio de operadores lineales acotados
- El espacio de todos los operadores lineales acotados de X a Y se denota por B ( X , Y ) y es un espacio vectorial normalizado.
- Si Y es Banach, entonces también lo es B ( X , Y ) .
- de donde se sigue que los espacios duales son Banach.
- Para cualquier A ∈ B ( X , Y ) , el núcleo de A es un subespacio lineal cerrado de X .
- Si B ( X , Y ) es Banach y X no es trivial, entonces Y es Banach.
Ver también
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Mapa lineal discontinuo
- Operador lineal continuo
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Espacio normado
- Álgebra de operadores : rama del análisis funcional
- Norma de operador : medida del "tamaño" de los operadores lineales
- Teoría del operador
- Seminorm
- Operador ilimitado
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
- ^ Prueba: Suponga, en aras de la contradicción, que x • = ( x i )∞
yo = 1converge a 0 pero F ( x • ) = ( F ( x i ))∞
yo = 1no está limitada en Y . Elija una vecindad equilibrada abierta V del origen en Y de manera que V no absorba la secuencia F ( x • ) . Reemplazando x • con una subsecuencia si es necesario, se puede suponer sin pérdida de generalidad que F ( x i ) ∉ i 2 V para cada entero positivo i . La secuencia z • : = ( x i / i )∞
yo = 1¿Mackey es convergente al origen (ya que ( i z i )∞
yo = 1= ( x i )∞
yo = 1→ 0 está acotado en X ) por lo que por supuesto, F ( z • ) = ( F ( z i ))∞
yo = 1está delimitada en Y . Así que elija un r > 1 real tal que F ( z i ) ∈ r V para cada entero i . Si i > r es un número entero, dado que V está equilibrado, F ( x i ) ∈ r i V ⊆ i 2 V , lo cual es una contradicción. ∎ Esta demostración se generaliza fácilmente para dar caracterizaciones aún más fuertes de " F está acotado". Por ejemplo, la palabra "tal que ( r i x i )∞
yo = 1 es un subconjunto acotado de "en la definición de" Mackey convergente al origen "se puede reemplazar por" tal que ( r i x i )∞
yo = 1→ 0 en"
- ^ Wilansky 2013 , págs. 47-50.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 441-457.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , p. 444.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 451-457.
Bibliografía
- "Operador limitado" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Kreyszig, Erwin: Introducción al análisis funcional con aplicaciones , Wiley, 1989
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .