El teorema de Holevo es un importante teorema limitativo en la computación cuántica , un campo interdisciplinario de la física y la informática . A veces se le llama límite de Holevo , ya que establece un límite superior a la cantidad de información que se puede conocer sobre un estado cuántico (información accesible). Fue publicado por Alexander Holevo en 1973.
Información accesible
En cuanto a varios conceptos de la teoría de la información cuántica, la información accesible se comprende mejor en términos de una comunicación entre dos partes. Así que presentamos a dos partes, Alice y Bob . Alice tiene una variable aleatoria clásica X , que puede tomar los valores {1, 2, ..., n } con las probabilidades correspondientes { p 1 , p 2 , ..., p n }. Alice luego prepara un estado cuántico , representado por la matriz de densidad ρ X elegida de un conjunto { ρ 1 , ρ 2 , ... ρ n }, y le da este estado a Bob. El objetivo de Bob es encontrar el valor de X , y con el fin de hacer eso, se realiza una medición sobre el estado ρ X , obteniendo un resultado clásico, que denotamos con Y . En este contexto, la cantidad de información accesible, es decir, la cantidad de información que Bob puede obtener sobre la variable X , es el valor máximo de la información mutua I ( X : Y ) entre las variables aleatorias X e Y sobre todo el posibles medidas que Bob puede hacer. [1]
Actualmente no existe una fórmula conocida para calcular la información accesible. Sin embargo, existen varios límites superiores, el más conocido de los cuales es el límite de Holevo, que se especifica en el siguiente teorema. [1]
Declaración del teorema
Sea { ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n } un conjunto de estados mixtos y sea ρ X uno de estos estados dibujados de acuerdo con la distribución de probabilidad P = { p 1 , p 2 , ..., p n }.
Luego, para cualquier medición descrita por elementos POVM { E Y } y realizada en, la cantidad de información accesible sobre la variable X conociendo el resultado Y de la medición está acotada desde arriba de la siguiente manera:
dónde y es la entropía de von Neumann .
La cantidad en el lado derecho de esta desigualdad se llama información de Holevo o cantidad de Holevo χ :
- .
Prueba
La prueba se puede dar usando tres sistemas cuánticos, llamados . puede pensarse intuitivamente como la preparación , puede pensarse como el estado cuántico preparado por Alice y entregado a Bob, y puede pensarse como el aparato de medición de Bob.
El sistema compuesto al principio está en el estado
El estado de Alice se puede pensar que Alice tiene el valor para la variable aleatoria . Entonces, el estado de preparación es el estado mixto descrito por la matriz de densidad. , y el estado cuántico dado a Bob es , y el aparato de medición de Bob está en su estado inicial o de reposo. Utilizando resultados conocidos de la teoría de la información cuántica [se necesita aclaración ] se puede demostrar que
que, después de alguna manipulación algebraica, puede demostrarse que es equivalente al enunciado del teorema. [1]
Comentarios y observaciones
En esencia, la cota de Holevo demuestra que dados n qubits , aunque pueden "transportar" una mayor cantidad de información (clásica) (gracias a la superposición cuántica), la cantidad de información clásica que se puede recuperar , es decir , acceder , solo se puede aumentar. a n (no codificados cuánticos) clásicos bits de . Esto es sorprendente, por dos razones: (1) la computación cuántica es tan a menudo más poderosa que la computación clásica, que los resultados que muestran que es tan bueno o inferior a las técnicas convencionales son inusuales, y (2) porque requiere números complejos para codificar los qubits que representan tan solo n bits.
Notas al pie
Ver también
Referencias
- Holevo, Alexander S. (1973). "Límites para la cantidad de información transmitida por un canal de comunicación cuántica". Problemas de transmisión de información . 9 : 177-183.
- Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 . (consulte la página 531, subsección 12.1.1 - ecuación (12.6))
- Wilde, Mark M. (2011). "De la teoría clásica de Shannon a la cuántica". arXiv : 1106.1445v2 [ quant-ph ].. Consulte en particular la Sección 11.6 y siguientes. El teorema de Holevo se presenta como ejercicio 11.9.1 en la página 288.