En matemáticas , el haz universal en la teoría de los haces de fibras con estructura agrupada en un grupo topológico dado G , es un haz específico sobre un espacio clasificador BG , tal que todo haz con la estructura dada en grupo G sobre M es un pullback por medio de un mapa continuo M → BG .
Cuando la definición del espacio de clasificación tiene lugar dentro de la categoría de homotopía de los complejos CW , los teoremas de existencia para paquetes universales surgen del teorema de representabilidad de Brown .
Prueba. Existe una inyección de G en un grupo unitario U ( n ) para n suficientemente grande. [1] Si encontramos EU ( n ) entonces podemos tomar EG como EU ( n ) . La construcción de EU ( n ) se da en el espacio de clasificación para U ( n ) .
Prueba. Por un lado, el pull-back del paquete π : EG → BG por la proyección natural P × G EG → BG es el paquete P × EG . Por otro lado, el pull-back del paquete G principal P → M por la proyección p : P × G EG → M también es P × EG
Dado que p es una fibración con fibra contráctil EG , existen secciones de p . [2] A tal sección s asociamos la composición con la proyección P × G EG → BG . El mapa que obtenemos es el f que buscábamos.
Para la unicidad hasta la homotopía, observe que existe una correspondencia uno a uno entre los mapas f : M → BG tal que f ∗ ( EG ) → M es isomorfo a P → M y secciones de p . Acabamos de ver cómo asociar una f a una sección. Inversamente, suponga que se da f . Sea Φ : f ∗ ( EG ) → P un isomorfismo: