En matemáticas , un haz de retroceso o haz inducido [1] [2] [3] es el haz de fibras inducido por un mapa de su espacio base. Dado un paquete de fibras π : E → B y un mapa continuo f : B ′ → B, se puede definir un "retroceso" de E por f como un paquete f * E sobre B ′ . La fibra de f * E sobre un punto b ′ en B′ Es solo la fibra de E sobre f ( b ′) . Así f * E es la unión disjunta de todas estas fibras dotadas de una topología adecuada .
Definicion formal
Sea π : E → B un haz de fibras con fibra abstracta F y sea f : B ′ → B un mapa continuo . Defina el paquete de retroceso por
y equiparlo con la topología subespacial y el mapa de proyección π ′: f * E → B ′ dado por la proyección sobre el primer factor, es decir,
La proyección sobre el segundo factor da un mapa
tal que el siguiente diagrama conmuta :
Si ( U , φ ) es una trivialización local de E, entonces ( f −1 U , ψ ) es una trivialización local de f * E donde
De esto se deduce que f * E es un haz de fibras sobre B ' con la fibra F . El paquete f * E se llama retroceso de E por f o el paquete inducido por f . El mapa h es entonces un morfismo de haz que cubre f .
Propiedades
Cualquier sección s de E sobre B induce una sección de f * E , llamada sección de retroceso f * s , simplemente definiendo
- .
Si el haz E → B tiene grupo estructura G con funciones de transición t ij (con respecto a una familia de trivializaciones locales {( U i , φ i )} ) a continuación, el haz de retroceso f * E también tiene grupo estructura G . Las funciones de transición en f * E están dadas por
Si E → B es un paquete del vector o fibrado principal entonces también lo es la retirada f * E . En el caso de un paquete principal, la acción correcta de G sobre f * E está dada por
Luego se deduce que el mapa h que cubre f es equivariante y, por lo tanto, define un morfismo de haces principales.
En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del paquete de retroceso es un ejemplo del retroceso categórico más general . Como tal, satisface la propiedad universal correspondiente .
La construcción del paquete de retroceso se puede realizar en subcategorías de la categoría de espacios topológicos , como la categoría de colectores lisos . La última construcción es útil en topología y geometría diferencial .
Ejemplos: Es esclarecedor considerar el retroceso del mapa de grado 2 desde el círculo hacia sí mismo sobre el mapa de grado 3 o 4 desde el círculo hacia sí mismo. En tales ejemplos, a veces se obtiene un espacio conectado (por ejemplo, eligiendo el grado 3 ) ya veces se desconecta (grado 4 ), pero siempre varias copias del círculo.
Paquetes y gavillas
Los haces también pueden describirse por sus haces de secciones . El retroceso de los haces corresponde entonces a la imagen inversa de las poleas , que es un functor contravariante . Una gavilla, sin embargo, es más naturalmente un objeto covariante , ya que tiene un empuje hacia adelante , llamado imagen directa de una gavilla . La tensión y la interacción entre haces y roldanas, o imagen inversa y directa, pueden ser ventajosas en muchas áreas de la geometría. Sin embargo, la imagen directa de un haz de secciones de un paquete no es en general el haz de secciones de algún paquete de imágenes directas, de modo que, aunque la noción de un 'empuje hacia adelante de un paquete' se define en algunos contextos (por ejemplo, el empujado hacia adelante por un difeomorfismo), en general se entiende mejor en la categoría de gavillas, porque los objetos que crea no pueden en general ser paquetes.
Referencias
- ^ Steenrod 1951 , p. 47
- ^ Husemoller 1994 , p. 18
- ^ Lawson y Michelsohn , 1989 , p. 374
Fuentes
- Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-00548-6.
- Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra . Textos de Posgrado en Matemáticas. 20 (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94087-8.
- Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5.
Otras lecturas
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Textos de Posgrado en Matemáticas. 166 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.