En matemáticas, el teorema de representabilidad de Brown en la teoría de homotopía [1] da las condiciones necesarias y suficientes para que un funtor contravariante F en la categoría de homotopía Hotc de complejos CW conectados puntiagudos , a la categoría de conjuntos Set , sea un funtor representable .
Más específicamente, se nos da
- F : Hotc op → Establecer ,
y existen ciertas condiciones obviamente necesarias para que F sea del tipo Hom (-, C ), con C un complejo CW conectado puntiagudo que puede deducirse únicamente de la teoría de categorías . El enunciado de la parte sustantiva del teorema es que estas condiciones necesarias son suficientes. Por razones técnicas, el teorema se establece a menudo para los functores de la categoría de conjuntos puntiagudos ; en otras palabras, a los conjuntos también se les da un punto base.
Teorema de representabilidad de Brown para complejos CW
El teorema de la representabilidad para los complejos CW, debido a Edgar H. Brown , [2] es el siguiente. Suponer que:
- El functor F mapea coproductos (es decir, sumas de cuña ) en Hotc a productos en Set :
- El functor F mapea los empujes de homotopía en Hotc a los retrocesos débiles . Esto a menudo se establece como un axioma de Mayer-Vietoris : para cualquier complejo CW W cubierto por dos subcomplejos U y V , y cualquier elemento u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) tal que u y v se restrinjan al mismo elemento de F ( U ∩ V ), hay un elemento w ∈ F ( W ) restringir a u y v , respectivamente.
Entonces F es representable por algunos CW complejo C , es decir, existe un isomorfismo
- F ( Z ) ≅ Hom Hotc ( Z , C )
para cualquier complejo CW Z , que es natural en Z porque para cualquier morfismo de Z a otro complejo CW Y los mapas inducidos F ( Y ) → F ( Z ) y Hom Hot ( Y , C ) → Hom Hot ( Z , C ) son compatibles con estos isomorfismos.
La afirmación inversa también es válida: cualquier funtor representado por un complejo CW satisface las dos propiedades anteriores. Esta dirección es una consecuencia inmediata de la teoría de categorías básica, por lo que la parte más profunda e interesante de la equivalencia es la otra implicación.
Se puede demostrar que el objeto representativo C anterior depende funcionalmente de F : cualquier transformación natural de F a otro funtor que satisfaga las condiciones del teorema necesariamente induce un mapa de los objetos representativos. Ésta es una consecuencia del lema de Yoneda .
Tomando F ( X ) como el grupo de cohomología singular H i ( X , A ) con coeficientes en un grupo abeliano dado A , para i fijo > 0; entonces el espacio de representación para F es el espacio de Eilenberg-MacLane K ( A , i ). Esto proporciona un medio para mostrar la existencia de espacios de Eilenberg-MacLane.
Variantes
Dado que la categoría de homotopía de los complejos CW es equivalente a la localización de la categoría de todos los espacios topológicos en las equivalencias de homotopía débil , el teorema se puede establecer de manera equivalente para los functores de una categoría definida de esta manera.
Sin embargo, el teorema es falso sin la restricción a los espacios puntiagudos conectados , y un enunciado análogo para los espacios no puntuales también es falso. [3]
Sin embargo, una afirmación similar es válida para los espectros en lugar de los complejos CW. Brown también demostró una versión categórica general del teorema de representabilidad, [4] que incluye tanto la versión para complejos CW conectados puntiagudos como la versión para espectros.
Una versión del teorema de la representabilidad en el caso de categorías trianguladas se debe a Amnon Neeman. [5] Junto con la observación anterior, da un criterio para un funtor (covariante) F : C → D entre categorías trianguladas que satisfacen ciertas condiciones técnicas para tener un funtor adjunto derecho . Es decir, si C y D son categorías trianguladas con C generado de forma compacta y F un functor triangulado que conmuta con sumas directas arbitrarias, entonces F es un adjunto izquierdo. Neeman ha aplicado esto para demostrar el teorema de la dualidad de Grothendieck en geometría algebraica.
Jacob Lurie ha probado una versión del teorema de representabilidad de Brown [6] para la categoría de homotopía de una cuasicategoría puntiaguda con un conjunto compacto de generadores que son objetos de cogrupo en la categoría de homotopía. Por ejemplo, esto se aplica a la categoría de homotopía de complejos CW conectados puntiagudos, así como a la categoría derivada ilimitada de una categoría abeliana de Grothendieck (en vista del refinamiento de categoría superior de Lurie de la categoría derivada).
Referencias
- ^ Switzer, Robert M. (2002), Topología algebraica --- homotopía y homología , Classics in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, pp. 152-157, ISBN 978-3-540-42750-6, MR 1886843
- ^ Brown, Edgar H. (1962), "Teorías de cohomología", Annals of Mathematics , Second Series, 75 : 467–484, doi : 10.2307 / 1970209 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970209 , MR 0138104
- ^ Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), "Splitting homotopy idempotents. II.", Journal of Pure and Applied Algebra , 89 (1-2): 93-106, doi : 10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b
- ^ Brown, Edgar H. (1965), "Teoría abstracta de homotopía" , Transactions of the American Mathematical Society , 119 (1): 79–85, doi : 10.2307 / 1994231
- ^ Neeman, Amnón (1996), "El teorema de dualidad Grothendieck a través de técnicas de Bousfield y Brown representabilidad" , Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas , 9 (1): 205-236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405
- ^ Lurie, Jacob (2011), Álgebra superior (PDF) , archivado desde el original (PDF) en 2011-06-09 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )