hp-FEM es una versión general del método de elementos finitos (FEM), un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales basado en aproximaciones polinomiales por partes que emplea elementos de tamaño variable (h) y grado polinómico (p) . Los orígenes de hp-FEM se remontan al trabajo pionero de Barna A. Szabó e Ivo Babuška [1] [2] [3] [4] [5] [6] quienes descubrieron que el método de elementos finitos converge exponencialmente rápido cuando el la malla se refina utilizando una combinación adecuada de refinamientos h (elementos que dividen en otros más pequeños) yp-refinamientos (aumentando su grado de polinomio). La convergencia exponencial hace que el método sea una opción muy atractiva en comparación con la mayoría de los otros métodos de elementos finitos que solo convergen con una tasa algebraica. La convergencia exponencial del hp-FEM no solo fue predicha teóricamente sino que también fue observada por numerosos investigadores independientes. [7] [8] [9]
Diferencias con FEM estándar
El hp-FEM se diferencia del FEM estándar (orden más bajo) en muchos aspectos. [10]
- Elección de funciones de forma de orden superior [se necesita un ejemplo ] : Para empezar, los polinomios de mayor grado en elementos se pueden generar utilizando diferentes conjuntos de funciones de forma. La elección de dicho conjunto puede influir drásticamente en el acondicionamiento de la matriz de rigidez y, a su vez, en todo el proceso de solución. Este problema fue documentado por primera vez por Babuska et al. [11]
- Adaptabilidad automática de hp : en el hp-FEM, un elemento puede refinarse en hp de muchas formas diferentes. Una forma es simplemente aumentar su grado de polinomio sin subdividirlo en el espacio. O bien, el elemento se puede subdividir geométricamente y se pueden aplicar varios grados de polinomio a los subelementos. El número de candidatos al refinamiento de elementos alcanza fácilmente 100 en 2D y 1000 en 3D. Por lo tanto, claramente, un número que indique el tamaño del error en un elemento no es suficiente para guiar la adaptabilidad hp automática (a diferencia de la adaptabilidad en el FEM estándar). Se deben emplear otras técnicas, como soluciones de referencia o consideraciones de analiticidad, para obtener más información sobre la forma del error en cada elemento. [12]
- Relación de tiempos de CPU de montaje y solución : En FEM estándar, la matriz de rigidez generalmente se ensambla rápidamente pero es bastante grande. Por lo tanto, normalmente, la solución del problema discreto consume la mayor parte del tiempo total de cálculo. Por el contrario, las matrices de rigidez en el hp-FEM suelen ser mucho más pequeñas, pero (para el mismo tamaño de matriz) su ensamblaje lleva más tiempo que en el FEM estándar. Principalmente, esto se debe al costo computacional de la cuadratura numérica, que debe tener una mayor precisión y, por lo tanto, ser de un orden superior, en comparación con el FEM estándar para aprovechar las tasas de convergencia más rápidas.
- Desafíos analíticos : El hp-FEM es más difícil de entender desde el punto de vista analítico que el FEM estándar. [ según quién? ] Esto se refiere a numerosas técnicas, como los principios máximos discretos (DMP) para problemas elípticos. Estos resultados indican que, generalmente con algunos supuestos limitantes en la malla, la aproximación FEM polinomial por partes obedece a principios máximos análogos a los de la PDE elíptica subyacente. Estos resultados son muy importantes ya que garantizan que la aproximación siga siendo físicamente admisible, sin dejar posibilidad de calcular una densidad negativa, una concentración negativa o una temperatura absoluta negativa. Los DMP son bastante conocidos para FEM de orden más bajo, pero completamente desconocidos para hp-FEM en dos o más dimensiones. El primer DMP en una dimensión espacial se formuló recientemente. [13] [14]
- Desafíos de programación : es mucho más difícil implementar un solucionador hp-FEM que el código FEM estándar. Los múltiples problemas que deben superarse incluyen (pero no se limitan a): fórmulas de cuadratura de orden superior, funciones de forma de orden superior, información de conectividad y orientación que relaciona funciones de forma en el dominio de referencia con funciones de base en el dominio físico, etc. [15]
Ejemplo: el problema de Fichera
El problema de Fichera (también llamado problema de esquina de Fichera) es un problema estándar de referencia para los códigos FEM adaptativos. Se puede usar para mostrar la gran diferencia en el rendimiento del FEM estándar y el hp-FEM. La geometría del problema es un cubo al que le falta una esquina. La solución exacta tiene un gradiente singular (una analogía de la tensión infinita) en el centro. El conocimiento de la solución exacta permite calcular exactamente el error de aproximación y así comparar varios métodos numéricos. A modo de ilustración, el problema se resolvió utilizando tres versiones diferentes de FEM adaptativa: con elementos lineales, elementos cuadráticos y hp-FEM.
Problema de Fichera: gradiente singular.
Problema de Fichera: comparación de convergencia.
Los gráficos de convergencia muestran el error de aproximación en función del número de grados de libertad (DOF). Por DOF nos referimos a parámetros (desconocidos) que se necesitan para definir la aproximación. El número de DOF es igual al tamaño de la matriz de rigidez. El lector puede ver en los gráficos que la convergencia del hp-FEM es mucho más rápida que la convergencia de los otros dos métodos. En realidad, la brecha de rendimiento es tan grande que el FEM lineal podría no converger en absoluto en un tiempo razonable y el FEM cuadrático necesitaría cientos de miles o quizás millones de DOF para alcanzar la precisión que alcanzó el hp-FEM con aproximadamente 17,000 DOF. La obtención de resultados muy precisos con relativamente pocos DOF es el principal punto fuerte del hp-FEM.
¿Por qué hp-FEM es tan eficiente?
Las funciones suaves se pueden aproximar de manera mucho más eficiente utilizando elementos grandes de alto orden que pequeños lineales por partes. Esto se ilustra en la figura siguiente, donde una ecuación de Poisson 1D con condiciones de frontera de Dirichlet cero se resuelve en dos mallas diferentes. La solución exacta es la función seno.
- Izquierda: malla formada por dos elementos lineales.
- Derecha: malla formada por un elemento cuadrático.
Si bien el número de incógnitas es el mismo en ambos casos (1 DOF), los errores en la norma correspondiente son 0,68 y 0,20, respectivamente. Esto significa que la aproximación cuadrática fue aproximadamente 3,5 veces más eficiente que la lineal por partes. Cuando avanzamos un paso más y comparamos (a) cuatro elementos lineales con (b) un elemento cuartico (p = 4), entonces ambos problemas discretos tendrán tres DOF pero la aproximación cuartica será aproximadamente 40 veces más eficiente. Al realizar algunos pasos más como este, el lector verá que la brecha de eficiencia se abre extremadamente rápido.
Por el contrario, los elementos pequeños de orden inferior pueden capturar características a pequeña escala, como singularidades, mucho mejor que los grandes de orden superior. El hp-FEM se basa en una combinación óptima de estos dos enfoques que conduce a una convergencia exponencial. Tenga en cuenta que esta convergencia exponencial se expresa en eje de error frente a grados de libertad. Para aplicaciones de la vida real, generalmente consideramos el tiempo de cálculo necesario para alcanzar el mismo nivel de precisión. Para este indicador de rendimiento, el refinamiento h y hp puede proporcionar resultados similares, por ejemplo, consulte la figura final en [16] (enlace WebArchive [17] ). Tan pronto como sea más difícil programar y paralelizar hp-FEM en comparación con h-FEM, la excelencia de convergencia del refinamiento hp puede resultar poco práctica.
¿Qué es la adaptabilidad hp?
Algunos sitios FEM describen la adaptabilidad hp como una combinación de adaptabilidad h (dividiendo elementos en el espacio mientras se mantiene fijo su grado de polinomio) y adaptabilidad p (solo aumentando su grado de polinomio). Esto no es totalmente preciso. La adaptabilidad hp es significativamente diferente de la adaptabilidad h y p, ya que el refinamiento hp de un elemento se puede realizar de muchas formas diferentes. Además de un refinamiento p, el elemento se puede subdividir en el espacio (como en la adaptabilidad h), pero hay muchas combinaciones para los grados de polinomio en los subelementos. Esto se ilustra en la figura de la derecha. Por ejemplo, si un elemento triangular o cuadrilátero se subdivide en cuatro subelementos donde se permite que los grados de polinomio varíen como máximo en dos, entonces esto produce 3 ^ 4 = 81 candidatos de refinamiento (sin considerar candidatos polinomialmente anisotrópicos). De manera análoga, dividiendo un hexaedro en ocho subelementos y variando sus grados polinomiales como máximo en dos, se obtienen 3 ^ 8 = 6.561 candidatos de refinamiento. Claramente, las estimaciones de error FEM estándar que proporcionan un número constante por elemento no son suficientes para guiar la adaptabilidad automática de hp.
Funciones de forma de orden superior
En FEM estándar, solo se trabaja con funciones de forma asociadas con vértices de cuadrícula (las llamadas funciones de vértice ). En contraste con eso, en el hp-FEM se consideran además funciones de borde (asociadas con bordes de elemento), funciones de cara (correspondientes a caras de elementos - solo 3D) y funciones de burbuja (polinomios de orden superior que desaparecen en los límites de elementos). Las siguientes imágenes muestran estas funciones (restringidas a un solo elemento):
Nota: ¡todas estas funciones están definidas en todo el interior del elemento!
Códigos hp-FEM de código abierto
- Deal.II : deal.II es una biblioteca gratuita de código abierto para resolver ecuaciones diferenciales parciales utilizando el método de elementos finitos.
- Conceptos : Biblioteca C / C ++ hp-FEM / DGFEM / BEM para ecuaciones elípticas desarrollada en SAM, ETH Zurich (Suiza) y en el grupo de K. Schmidt en TU Berlin (Alemania).
- 2dhp90, 3dhp90: códigos de Fortran para problemas elípticos y ecuaciones de Maxwell desarrollados por L. Demkowicz en ICES, UT Austin.
- PHAML: El proyecto multinivel adaptativo jerárquico paralelo. Software de elementos finitos desarrollado en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, EE. UU., Para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas 2D en computadoras paralelas de memoria distribuida y computadoras multinúcleo que utilizan refinamiento de malla adaptativa y técnicas de solución de redes múltiples.
- Proyecto Hermes : biblioteca C / C ++ / Python para la creación rápida de prototipos de solucionadores hp-FEM adaptativos de espacio y espacio-tiempo para una gran variedad de PDE y sistemas PDE multifísicos, desarrollado por el grupo hp-FEM de la Universidad de Nevada, Reno ( EE. UU.), El Instituto de Termomecánica de Praga (República Checa) y la Universidad de West Bohemia en Pilsen (República Checa), con el software de ingeniería Agros2D construido sobre la biblioteca de Hermes.
- PHG : PHG es una caja de herramientas para desarrollar programas adaptativos paralelos de elementos finitos. Es adecuado para h-, p- y hp-fem. PHG se encuentra actualmente en desarrollo activo en el State Key Laboratory of Scientific and Engineering Computing, Institute of Computational Mathematics and Scientific / Engineering Computing de la Academia de Ciencias de China (LSEC, CAS, China). PHG se ocupa de la conformación de mallas tetraédricas y utiliza la bisección para el refinamiento adaptativo de la malla local y MPI para el paso de mensajes. PHG tiene un diseño orientado a objetos que oculta los detalles de la paralelización y proporciona operaciones comunes en mallas y funciones de elementos finitos de forma abstracta, lo que permite a los usuarios concentrarse en sus algoritmos numéricos.
- MoFEM es un código de análisis de elementos finitos diseñado para la solución de problemas de multifísica con niveles arbitrarios de aproximación, diferentes niveles de refinamiento de malla y optimizado para computación de alto rendimiento. Está diseñado para poder gestionar complejidades relacionadas con un orden heterogéneo de aproximaciones para espacios L2, H1, H-div y H-curl
- Sparselizard es una biblioteca de elementos finitos C ++ multifísica, adaptable a hp, fácil de usar y de código abierto desarrollada actualmente en la Universidad de Tampere, Finlandia. Combina el refinamiento de malla adaptable conformal tetraedro 3D y triángulo / cuadrilátero 2D con espacios de función jerárquica H1 y H-curl de orden arbitrario para hpFEM estático y transitorio general.
Software comercial hp-FEM
- StressCheck es una herramienta de análisis de elementos finitos con capacidades de hp orientadas al análisis estructural detallado.
Referencias
- ^ BA Szabó , AK Mehta: Aproximaciones de elementos finitos p-convergentes en mecánica de fracturas, Int. J. Num. Meth. Engng, Volumen 12, págs. 551-560, 1978.
- ^ I. Babuška , BA Szabó e IN Katz: La versión p del método de elementos finitos, SIAM J. Numer. Anl., Volumen 18, págs. 515-544, 1981.
- ^ I. Babuška , BA Szabó , Sobre las tasas de convergencia del método de los elementos finitos, Int. J. Numer. Meth.Engng., Volumen 18, págs. 323-341, 1982.
- ^ I. Babuška : Versiones p y hp del método de elementos finitos: estado del arte, elementos finitos: teoría y aplicaciones, editado por DL Dwoyer, MY Hussaini y RG Voigt, Nueva York, Springer-Verlag, 1988 .
- ^ BA Szabó , I. Babuška : Análisis de elementos finitos, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50273-9 , 1991.
- ^ I. Babuška , BQ Guo: La versión h, py hp del método de elementos finitos: teoría de bases y aplicaciones, Advances in Engineering Software, Volume 15, Issue 3-4, 1992.
- ^ JM Melenk: métodos de elementos finitos hp para perturbaciones singulares, Springer, 2002
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- ^ L. Demkowicz, W. Rachowicz y Ph. Devloo: Una adaptabilidad hp completamente automática, Journal of Scientific Computing, 17, Nos 1-3 (2002), 127-155
- ^ P. Solin, T. Vejchodsky: Un principio máximo discreto débil para hp-FEM, J. Comput. Apl. Matemáticas. 209 (2007) 54–65
- ^ T. Vejchodsky, P. Solin: Principio máximo discreto para elementos finitos de orden superior en 1D, Matemáticas. Computación. 76 (2007), 1833–1846
- ^ L. Demkowicz, J. Kurtz, D. Pardo, W. Rachowicz, M. Paszynski, A. Zdunek: Computación con elementos finitos adaptables hp, Chapman & Hall / CRC Press, 2007
- ^ http://hpfem.org/wp-content/uploads/doc-web/doc-examples/src/hermes2d/examples/maxwell/microwave-oven.html
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