Átomo de hidrógeno

Átomo del elemento hidrógeno

Átomo de hidrógeno,  ¹ H

General
Símbolo	1 hora
Nombres	átomo de hidrógeno, H-1, protio, ¹H
Protones	1
Neutrones	0
Datos de nucleidos
Abundancia natural	99,985%
Masa de isótopos	1.007825 u
Vuelta	1/2
Exceso de energia	7288,969 ± 0,001 keV
Energía de unión	0,000 ± 0,0000 keV
Isótopos de hidrógeno Tabla completa de nucleidos

Representación de un átomo de hidrógeno que muestra el diámetro como aproximadamente el doble del radio del modelo de Bohr . (Imagen no a escala)

Un átomo de hidrógeno es un átomo del elemento químico hidrógeno . El átomo eléctricamente neutro contiene un solo protón cargado positivamente y un solo electrón cargado negativamente unido al núcleo por la fuerza de Coulomb . El hidrógeno atómico constituye aproximadamente el 75% de la masa bariónica del universo. ^[1]

En la vida cotidiana en la Tierra, los átomos de hidrógeno aislados (llamados "hidrógeno atómico") son extremadamente raros. En su lugar, un átomo de hidrógeno tiende a combinarse con otros átomos en los compuestos, o con otro átomo de hidrógeno para formar ordinario ( diatómico gas hidrógeno), H ₂ . "Atómico hidrógeno" y "átomo de hidrógeno" en el uso común en inglés tienen significados superpuestos, aunque distintos. Por ejemplo, una molécula de agua contiene dos átomos de hidrógeno, pero no contiene hidrógeno atómico (que se referiría a átomos de hidrógeno aislados).

La espectroscopia atómica muestra que hay un conjunto infinito discreto de estados en los que puede existir un átomo de hidrógeno (o cualquier otro), contrariamente a las predicciones de la física clásica . Los intentos de desarrollar una comprensión teórica de los estados del átomo de hidrógeno han sido importantes para la historia de la mecánica cuántica , ya que todos los demás átomos pueden entenderse aproximadamente si se conoce en detalle esta estructura atómica más simple.

Isótopos

El isótopo más abundante , hidrógeno-1 , protio o hidrógeno ligero , no contiene neutrones y es simplemente un protón y un electrón . El protio es estable y constituye el 99,985% de los átomos de hidrógeno de origen natural. ^[2]

El deuterio contiene un neutrón y un protón en su núcleo. El deuterio es estable y constituye el 0,0156% del hidrógeno natural ^[2] y se utiliza en procesos industriales como reactores nucleares y resonancia magnética nuclear .

El tritio contiene dos neutrones y un protón en su núcleo y no es estable, decayendo con una vida media de 12,32 años. Debido a su corta vida media, el tritio no existe en la naturaleza excepto en pequeñas cantidades.

Los isótopos más pesados ​​de hidrógeno solo se crean artificialmente en aceleradores de partículas y tienen vidas medias del orden de 10 a ²² segundos. Son resonancias no ligadas ubicadas más allá de la línea de goteo de neutrones ; esto da como resultado la rápida emisión de un neutrón .

Las fórmulas siguientes son válidas para los tres isótopos de hidrógeno, pero se deben usar valores ligeramente diferentes de la constante de Rydberg (fórmula de corrección dada a continuación) para cada isótopo de hidrógeno.

Ión de hidrógeno

Los átomos de hidrógeno neutros solitarios son raros en condiciones normales. Sin embargo, el hidrógeno neutro es común cuando está unido covalentemente a otro átomo, y los átomos de hidrógeno también pueden existir en formas catiónicas y aniónicas .

Si un átomo de hidrógeno neutro pierde su electrón, se convierte en catión. El ion resultante, que consiste únicamente en un protón para el isótopo habitual, se escribe como "H ⁺ " y, a veces, se denomina hidrón . Los protones libres son comunes en el medio interestelar y el viento solar . En el contexto de las soluciones acuosas de los ácidos clásicos de Brønsted-Lowry , como el ácido clorhídrico , en realidad se trata de hidronio , H ₃ O ⁺ . En lugar de que se forme un único átomo de hidrógeno ionizado literal, el ácido transfiere el hidrógeno a H ₂ O, formando H ₃ O⁺ .

Si, en cambio, un átomo de hidrógeno gana un segundo electrón, se convierte en anión. El anión de hidrógeno se escribe como "H ^- " y se llama hidruro .

Análisis teórico

El átomo de hidrógeno tiene un significado especial en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos como un sistema físico de problema de dos cuerpos simple que ha producido muchas soluciones analíticas simples en forma cerrada.

Descripción clásica fallida

Los experimentos de Ernest Rutherford en 1909 mostraron que la estructura del átomo es un núcleo denso y positivo con una tenue nube de carga negativa a su alrededor. Esto inmediatamente generó preguntas sobre cómo un sistema de este tipo podría ser estable. El electromagnetismo clásico había demostrado que cualquier carga acelerada irradia energía, como lo muestra la fórmula de Larmor . Si se supone que el electrón orbita en un círculo perfecto e irradia energía continuamente, el electrón entraría en espiral rápidamente hacia el núcleo con un tiempo de caída de: ^[3]

${\displaystyle t_{\text{fall}}\approx {\frac {a_{0}^{3}}{4r_{0}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},}$

donde ${\displaystyle a_{0}}$es el radio de Bohr y${\displaystyle r_{0}}$es el radio clásico del electrón . Si esto fuera cierto, todos los átomos colapsarían instantáneamente, sin embargo, los átomos parecen ser estables. Además, la espiral hacia adentro liberaría una mancha de frecuencias electromagnéticas a medida que la órbita se hiciera más pequeña. En cambio, se observó que los átomos solo emitían frecuencias discretas de radiación. La resolución estaría en el desarrollo de la mecánica cuántica .

Modelo de Bohr-Sommerfeld

En 1913, Niels Bohr obtuvo los niveles de energía y las frecuencias espectrales del átomo de hidrógeno después de hacer una serie de suposiciones simples para corregir el modelo clásico fallido. Los supuestos incluyeron:

1. Los electrones solo pueden estar en ciertas órbitas circulares discretas o estados estacionarios , por lo que tienen un conjunto discreto de posibles radios y energías.
2. Los electrones no emiten radiación mientras se encuentran en uno de estos estados estacionarios.
3. Un electrón puede ganar o perder energía saltando de una órbita discreta a otra.

Bohr supuso que el momento angular del electrón está cuantificado con valores posibles:

${\displaystyle L=n\hbar }$ donde ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

y ${\displaystyle \hbar }$¿ Planck es constante sobre${\displaystyle 2\pi }$. También supuso que la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en su órbita es proporcionada por la fuerza de Coulomb , y esa energía se conserva. Bohr derivó la energía de cada órbita del átomo de hidrógeno para ser: ^[4]

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},}$

donde ${\displaystyle m_{e}}$es la masa del electrón ,${\displaystyle e}$es la carga de electrones ,${\displaystyle \epsilon _{0}}$es la permitividad del vacío , y${\displaystyle n}$es el número cuántico (ahora conocido como número cuántico principal ). Las predicciones de Bohr emparejaron experimentos que midieron la serie espectral de hidrógeno con el primer orden, dando más confianza a una teoría que usaba valores cuantificados.

Para ${\displaystyle n=1}$, el valor

${\displaystyle {\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}}$^[5]

se llama la unidad de energía de Rydberg. Está relacionado con la constante de Rydberg ${\displaystyle R_{\infty }}$de la física atómica por${\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}$

El valor exacto de la constante de Rydberg supone que el núcleo es infinitamente masivo con respecto al electrón. Para hidrógeno-1, hidrógeno-2 ( deuterio ) e hidrógeno-3 ( tritio ) que tienen masa finita, la constante debe modificarse ligeramente para usar la masa reducida del sistema, en lugar de simplemente la masa del electrón. Esto incluye la energía cinética del núcleo en el problema, porque la energía cinética total (electrón más nuclear) es equivalente a la energía cinética de la masa reducida que se mueve con una velocidad igual a la velocidad del electrón relativa al núcleo. Sin embargo, dado que el núcleo es mucho más pesado que el electrón, la masa del electrón y la masa reducida son casi iguales. La constante de Rydberg R _Mpara un átomo de hidrógeno (un electrón), R viene dado por

${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},}$

donde ${\displaystyle M}$es la masa del núcleo atómico. Para el hidrógeno-1, la cantidad${\displaystyle m_{\text{e}}/M,}$es aproximadamente 1/1836 (es decir, la relación de masa electrón-protón). Para el deuterio y el tritio, las proporciones son aproximadamente 1/3670 y 1/5497 respectivamente. Estas cifras, cuando se suman a 1 en el denominador, representan correcciones muy pequeñas en el valor de R y, por lo tanto, solo pequeñas correcciones a todos los niveles de energía en los correspondientes isótopos de hidrógeno.

Todavía había problemas con el modelo de Bohr:

1. no pudo predecir otros detalles espectrales como la estructura fina y la estructura hiperfina
2. solo podía predecir los niveles de energía con precisión para átomos de un solo electrón (átomos similares al hidrógeno)
3. los valores predichos solo eran correctos para ${\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}$, donde ${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina .

La mayoría de estas deficiencias se resolvieron mediante la modificación del modelo de Bohr por parte de Arnold Sommerfeld . Sommerfeld introdujo dos grados de libertad adicionales, permitiendo que un electrón se mueva en una órbita elíptica caracterizada por su excentricidad y declinación con respecto a un eje elegido. Esto introdujo dos números cuánticos adicionales, que corresponden al momento angular orbital y su proyección sobre el eje elegido. Así se encontró la multiplicidad correcta de estados (excepto el factor 2 que explica el espín del electrón aún desconocido). Además, al aplicar la relatividad especiala las órbitas elípticas, Sommerfeld logró derivar la expresión correcta para la estructura fina de los espectros de hidrógeno (que resulta ser exactamente la misma que en la teoría de Dirac más elaborada). Sin embargo, algunos fenómenos observados, como el efecto Zeeman anómalo , permanecieron sin explicación. Estos problemas se resolvieron con el desarrollo completo de la mecánica cuántica y la ecuación de Dirac . A menudo se alega que la ecuación de Schrödingeres superior a la teoría de Bohr-Sommerfeld en la descripción del átomo de hidrógeno. Este no es el caso, ya que la mayoría de los resultados de ambos enfoques coinciden o son muy cercanos (una excepción notable es el problema del átomo de hidrógeno en campos eléctricos y magnéticos cruzados, que no pueden resolverse de manera autoconsistente en el marco de Bohr– Teoría de Sommerfeld), y en ambas teorías las principales deficiencias resultan de la ausencia del espín del electrón. Fue el completo fracaso de la teoría de Bohr-Sommerfeld para explicar los sistemas de muchos electrones (como el átomo de helio o la molécula de hidrógeno) lo que demostró su insuficiencia para describir los fenómenos cuánticos.

Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger permite calcular los estados estacionarios y también la evolución temporal de los sistemas cuánticos. Las respuestas analíticas exactas están disponibles para el átomo de hidrógeno no relativista. Antes de pasar a presentar un relato formal, aquí damos un resumen elemental.

Dado que el átomo de hidrógeno contiene un núcleo y un electrón, la mecánica cuántica permite predecir la probabilidad de encontrar el electrón a cualquier distancia radial dada. ${\displaystyle r}$. Está dado por el cuadrado de una función matemática conocida como "función de onda", que es una solución de la ecuación de Schrödinger. El estado de equilibrio de energía más bajo del átomo de hidrógeno se conoce como estado fundamental. La función de onda del estado fundamental se conoce como${\displaystyle 1\mathrm {s} }$función de onda. Está escrito como:

${\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}.}$

Aquí, ${\displaystyle a_{0}}$es el valor numérico del radio de Bohr. La densidad de probabilidad de encontrar el electrón a distancia.${\displaystyle r}$ en cualquier dirección radial es el valor al cuadrado de la función de onda:

${\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}e^{-2r/a_{0}}.}$

El ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ La función de onda es esféricamente simétrica, y el área de superficie de un caparazón a distancia ${\displaystyle r}$ es ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$, entonces la probabilidad total ${\displaystyle P(r)\,dr}$ del electrón que está en una capa a una distancia ${\displaystyle r}$ y espesor ${\displaystyle dr}$ es

${\displaystyle P(r)\,dr=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,dr.}$

Resulta que este es un máximo en ${\displaystyle r=a_{0}}$. Es decir, la imagen de Bohr de un electrón que orbita alrededor del núcleo en un radio${\displaystyle a_{0}}$se recupera como un resultado estadísticamente válido. Sin embargo, aunque es más probable que el electrón esté en una órbita de Bohr, existe una probabilidad finita de que el electrón pueda estar en cualquier otro lugar.${\displaystyle r}$, con la probabilidad indicada por el cuadrado de la función de onda. Dado que la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar de todo el volumen es la unidad, la integral de${\displaystyle P(r)\,dr}$es la unidad. Entonces decimos que la función de onda está correctamente normalizada.

Como se analiza a continuación, el estado fundamental ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$también está indicado por los números cuánticos ${\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}$. Los segundos estados de energía más bajos, justo por encima del estado fundamental, están dados por los números cuánticos.${\displaystyle (2,0,0)}$, ${\displaystyle (2,1,0)}$, y ${\displaystyle (2,1,\pm 1)}$. Estas${\displaystyle n=2}$ todos los estados tienen la misma energía y se conocen como ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ y ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$estados. Hay uno${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ estado:

${\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-r/2a_{0}},}$

y hay tres ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$ estados:

${\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~e^{\pm i\varphi }.}$

Un electrón en el ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ o ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$ Es más probable que el estado se encuentre en la segunda órbita de Bohr con energía dada por la fórmula de Bohr.

Función de onda

El hamiltoniano del átomo de hidrógeno es el operador de energía cinética radial y la fuerza de atracción de Coulomb entre el protón positivo y el electrón negativo. Usando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ignorando todas las interacciones de acoplamiento de espín y usando la masa reducida ${\displaystyle \mu =m_{e}M/(m_{e}+M)}$, la ecuación se escribe como:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}$

Expandiendo el Laplaciano en coordenadas esféricas:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }$

Este es un separable , ecuación diferencial parcial que puede ser resuelto en términos de funciones especiales. Cuando la función de onda se separa como producto de funciones${\displaystyle R(r),\,\Theta (\theta )}$ y ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$Aparecen tres funciones diferenciales independientes ^[6] siendo A y B las constantes de separación:

radial: ${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(r^{2}{\frac {{\rm {d}}R}{{\rm {d}}r}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}$

polar: ${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\theta }}\left(\sin \theta {\frac {{\rm {d}}\Theta }{{\rm {d}}\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}$

azimut: ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {{\rm {d}}^{2}\Phi }{{\rm {d}}\varphi ^{2}}}+B=0.}$

Las funciones de onda de posición normalizada , dadas en coordenadas esféricas son:

${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

Ilustración 3D del eigenstate ${\displaystyle \psi _{4,3,1}}$. Los electrones en este estado tienen un 45% de probabilidad de encontrarse dentro del cuerpo sólido que se muestra.

donde:

${\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}$,

${\displaystyle a_{0}^{*}}$es el radio de Bohr reducido ,${\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}$,

${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}$es un polinomio de Laguerre generalizado de grado${\displaystyle n-\ell -1}$, y

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$es una función armónica esférica de grado${\displaystyle \ell }$ y el orden ${\displaystyle m}$. Tenga en cuenta que los polinomios de Laguerre generalizados se definen de manera diferente por diferentes autores. El uso aquí es consistente con las definiciones usadas por Messiah, ^[7] y Mathematica. ^[8] En otros lugares, el polinomio de Laguerre incluye un factor de${\displaystyle (n+\ell )!}$, ^[9] o el polinomio de Laguerre generalizado que aparece en la función de onda de hidrógeno es${\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}$en lugar de. ^[10]

Los números cuánticos pueden tomar los siguientes valores:

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$( número cuántico principal )

${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots ,n-1}$( número cuántico azimutal )

${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }$( número cuántico magnético ).

Además, estas funciones de onda están normalizadas (es decir, la integral de su módulo cuadrado es igual a 1) y ortogonales :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},}$

donde ${\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }$ es el estado representado por la función de onda ${\displaystyle \psi _{n\ell m}}$en notación de Dirac , y${\displaystyle \delta }$es la función delta de Kronecker . ^[11]

Las funciones de onda en el espacio de momento están relacionadas con las funciones de onda en el espacio de posición a través de una transformada de Fourier.

${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,}$

que, para los estados consolidados, resulta en ^[12]

${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),}$

donde ${\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}$denota un polinomio de Gegenbauer y${\displaystyle p}$ está en unidades de ${\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}$.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno son analíticas , dando una expresión simple para los niveles de energía del hidrógeno y, por lo tanto, las frecuencias de las líneas espectrales del hidrógeno y reprodujeron completamente el modelo de Bohr y fueron más allá. También produce otros dos números cuánticos y la forma de la función de onda del electrón ("orbital") para los diversos estados mecánicos cuánticos posibles, lo que explica el carácter anisotrópico de los enlaces atómicos.

La ecuación de Schrödinger también se aplica a átomos y moléculas más complicados . Cuando hay más de un electrón o núcleo, la solución no es analítica y son necesarios cálculos por computadora o se deben hacer suposiciones simplificadoras.

Dado que la ecuación de Schrödinger solo es válida para la mecánica cuántica no relativista, las soluciones que produce para el átomo de hidrógeno no son del todo correctas. La ecuación de Dirac de la teoría cuántica relativista mejora estas soluciones (ver más abajo).

Resultados de la ecuación de Schrödinger

La solución de la ecuación de Schrödinger (ecuación de onda) para el átomo de hidrógeno utiliza el hecho de que el potencial de Coulomb producido por el núcleo es isotrópico (es radialmente simétrico en el espacio y solo depende de la distancia al núcleo). Aunque las funciones propias de energía resultantes (los orbitales ) no son necesariamente isotrópicas en sí mismas, su dependencia de las coordenadas angulares se sigue de forma completamente general de esta isotropía del potencial subyacente: los estados propios del hamiltoniano (es decir, los estados propios de energía) pueden elegirse como simultáneos estados propios del operador de momento angular. Esto corresponde al hecho de que el momento angular se conserva en el movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo. Por lo tanto, los estados propios de energía pueden clasificarse mediante dos números cuánticos de momento angular ,${\displaystyle \ell }$ y ${\displaystyle m}$(ambos son números enteros). El número cuántico del momento angular${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$determina la magnitud del momento angular. El número cuántico magnético${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }$ determina la proyección del momento angular en el (elegido arbitrariamente) ${\displaystyle z}$-eje.

Además de las expresiones matemáticas para el momento angular total y la proyección del momento angular de las funciones de onda, se debe encontrar una expresión para la dependencia radial de las funciones de onda. Es solo aquí donde los detalles de la${\displaystyle 1/r}$El potencial de Coulomb entra (que conduce a polinomios de Laguerre en${\displaystyle r}$). Esto conduce a un tercer número cuántico, el número cuántico principal.${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$. El número cuántico principal del hidrógeno está relacionado con la energía total del átomo.

Tenga en cuenta que el valor máximo del número cuántico de momento angular está limitado por el número cuántico principal: solo puede ejecutarse hasta ${\displaystyle n-1}$, es decir, ${\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}$.

Debido a la conservación del momento angular, los estados del mismo ${\displaystyle \ell }$ pero diferente ${\displaystyle m}$tienen la misma energía (esto es válido para todos los problemas con simetría rotacional ). Además, para el átomo de hidrógeno, estados del mismo${\displaystyle n}$ pero diferente ${\displaystyle \ell }$también están degenerados (es decir, tienen la misma energía). Sin embargo, esta es una propiedad específica del hidrógeno y ya no es cierta para átomos más complicados que tienen un potencial (efectivo) que difiere de la forma${\displaystyle 1/r}$ (debido a la presencia de electrones internos que protegen el potencial del núcleo).

Teniendo en cuenta que el espín del electrón agrega un último número cuántico, la proyección del momento angular del espín del electrón a lo largo del${\displaystyle z}$-axis, que puede tomar dos valores. Por lo tanto, cualquier estado propio del electrón en el átomo de hidrógeno se describe completamente mediante cuatro números cuánticos. Según las reglas habituales de la mecánica cuántica, el estado real del electrón puede ser cualquier superposición de estos estados. Esto explica también por qué la elección de${\displaystyle z}$-eje para la cuantificación direccional del vector de momento angular es inmaterial: un orbital de dado${\displaystyle \ell }$ y ${\displaystyle m'}$ obtenido para otro eje preferido ${\displaystyle z'}$ siempre puede representarse como una superposición adecuada de los diversos estados de diferentes ${\displaystyle m}$ (pero lo mismo ${\displaystyle \ell }$) que se han obtenido para ${\displaystyle z}$.

Resumen matemático de los estados propios del átomo de hidrógeno

En 1928, Paul Dirac encontró una ecuación que era totalmente compatible con la relatividad especial y (como consecuencia) hizo que la función de onda fuera un " espinor de Dirac " de 4 componentes que incluye componentes de espín "arriba" y "abajo", con ambos positivos y " energía "negativa" (o materia y antimateria). La solución a esta ecuación dio los siguientes resultados, más precisos que la solución de Schrödinger.

Niveles de energía

Los niveles de energía del hidrógeno, incluida la estructura fina (excluyendo el desplazamiento de Lamb y la estructura hiperfina ), vienen dados por la expresión de estructura fina de Sommerfeld : ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina y${\displaystyle j}$es el número cuántico del momento angular total , que es igual a${\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}$, dependiendo de la orientación del espín del electrón en relación con el momento angular orbital. ^[14] Esta fórmula representa una pequeña corrección de la energía obtenida por Bohr y Schrödinger como se indica arriba. El factor entre corchetes en la última expresión es casi uno; el término adicional surge de los efectos relativistas (para más detalles, consulte #Features que van más allá de la solución de Schrödinger ). Vale la pena señalar que esta expresión fue obtenida por primera vez por A. Sommerfeld en 1916 basándose en la versión relativista de la antigua teoría de Bohr . Sin embargo, Sommerfeld ha utilizado una notación diferente para los números cuánticos.

Estados coherentes

Los estados coherentes se han propuesto como ^[15]

${\displaystyle |s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle \equiv M(s^{2})\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {\rho _{n}}})|n,{\bar {\Omega }}\rangle ,}$

que satisface ${\displaystyle d{\bar {\Omega }}\equiv \sin {\bar {\theta }}\,d{\bar {\theta }}\,d{\bar {\varphi }}\,d{\bar {\psi }}/8\pi ^{2}}$ y toma la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r,\theta ,\varphi \mid s,\gamma ,{\bar {\Omega }}\rangle ={}&e^{-s^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }(s^{n}e^{i\gamma /(n+1)^{2}}/{\sqrt {n!}})\\&{}\times \,\sum _{\ell =0}^{n}u_{n+1}^{\ell }(r)\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[{\frac {(2\ell )!}{(\ell +m)!(\ell -m)!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell -m}\left(\cos {\frac {\bar {\theta }}{2}}\right)^{\ell +m}\\&{}\times \,e^{-i(m{\bar {\varphi }}+\ell {\bar {\psi }})}Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ){\sqrt {2\ell +1}}.\end{aligned}}}$

Visualización de los orbitales de los electrones de hidrógeno

Densidades de probabilidad a través del plano xz para el electrón en diferentes números cuánticos ( ℓ , en la parte superior; n , en el lado inferior; m = 0)

La imagen de la derecha muestra los primeros orbitales del átomo de hidrógeno (funciones propias de energía). Estas son secciones transversales de la densidad de probabilidad codificadas por colores (el negro representa la densidad cero y el blanco representa la densidad más alta). El número cuántico de momento angular (orbital) ℓ se indica en cada columna, utilizando el código espectroscópico de letras habitual ( s significa ℓ  = 0, p significa ℓ  = 1, d significa ℓ  = 2). El número cuántico principal (principal) n (= 1, 2, 3, ...) está marcado a la derecha de cada fila. Para todas las imágenes, el número cuántico magnético mse ha establecido en 0, y el plano de sección transversal es el plano xz ( z es el eje vertical). La densidad de probabilidad en el espacio tridimensional se obtiene rotando la que se muestra aquí alrededor del eje z .

El " estado fundamental ", es decir, el estado de menor energía, en el que normalmente se encuentra el electrón, es el primero, el estado 1 s ( nivel cuántico principal n = 1, ℓ = 0).

Las líneas negras aparecen en cada orbital excepto en el primero: estos son los nodos de la función de onda, es decir, donde la densidad de probabilidad es cero. (Más precisamente, los nodos son armónicos esféricos que aparecen como resultado de resolver la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas).

Los números cuánticos determinan el diseño de estos nodos. ^[16] Hay:

• ${\displaystyle n-1}$ nodos totales,
• ${\displaystyle \ell }$ de los cuales son nodos angulares:
  • ${\displaystyle m}$ los nodos angulares van alrededor del ${\displaystyle \varphi }$eje (en el plano xy ). (La figura anterior no muestra estos nodos, ya que traza secciones transversales a través del plano xz ).
  • ${\displaystyle \ell -m}$ (los nodos angulares restantes) ocurren en el ${\displaystyle \theta }$ (eje vertical.
• ${\displaystyle n-\ell -1}$ (los nodos no angulares restantes) son nodos radiales.

Funciones que van más allá de la solución de Schrödinger

Hay varios efectos importantes que son ignorados por la ecuación de Schrödinger y que son responsables de ciertas desviaciones pequeñas pero medibles de las líneas espectrales reales de las predichas:

• Aunque la velocidad media del electrón en el hidrógeno es sólo 1/137 de la velocidad de la luz , muchos experimentos modernos son lo suficientemente precisos como para que una explicación teórica completa requiera un tratamiento completamente relativista del problema. Un tratamiento relativista da como resultado un aumento de impulso de aproximadamente 1 parte en 37.000 para el electrón. Dado que la longitud de onda del electrón está determinada por su momento, los orbitales que contienen electrones de mayor velocidad muestran una contracción debido a longitudes de onda más pequeñas.
• Incluso cuando no hay un campo magnético externo , en el marco de inercia del electrón en movimiento, el campo electromagnético del núcleo tiene un componente magnético. El espín del electrón tiene un momento magnético asociado que interactúa con este campo magnético. Este efecto se explica también por la relatividad especial, y que conduce a la llamada de acoplamiento spin-órbita , es decir, una interacción entre el electrón 's movimiento orbital alrededor del núcleo, y su giro .

Ambas características (y más) están incorporadas en la ecuación relativista de Dirac , con predicciones que se acercan aún más a la experimentación. Nuevamente, la ecuación de Dirac puede resolverse analíticamente en el caso especial de un sistema de dos cuerpos, como el átomo de hidrógeno. Los estados cuánticos de solución resultantes ahora deben clasificarse por el número de momento angular total j (que surge a través del acoplamiento entre el espín del electrón y el momento angular orbital ). Los estados de la misma j y la misma n todavía están degenerados. Por lo tanto, la solución analítica directa de la ecuación de Dirac predice 2S (1/2) y 2P (1/2) niveles de hidrógeno para tener exactamente la misma energía, lo cual está en contradicción con las observaciones ( experimento de Lamb-Retherford ).

• Siempre hay fluctuaciones de vacío del campo electromagnético , según la mecánica cuántica. Debido a tales fluctuaciones se levanta la degeneración entre estados de la misma j pero diferente l , dándoles energías ligeramente diferentes. Esto ha sido demostrado en el famoso experimento de Lamb-Retherford y fue el punto de partida para el desarrollo de la teoría de la electrodinámica cuántica (que es capaz de lidiar con estas fluctuaciones del vacío y emplea los famosos diagramas de Feynman para aproximaciones usando la teoría de perturbaciones ). Este efecto ahora se llama Lamb shift .

Para estos desarrollos, era esencial que la solución de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno pudiera elaborarse con exactitud, de modo que cualquier desviación observada experimentalmente tuviera que tomarse en serio como una señal de falla de la teoría.

Alternativas a la teoría de Schrödinger

En el lenguaje de la mecánica matricial de Heisenberg , el átomo de hidrógeno fue resuelto por primera vez por Wolfgang Pauli ^[17] usando una simetría rotacional en cuatro dimensiones [O (4) -simetría] generada por el momento angular y el vector Laplace-Runge-Lenz . Al extender el grupo de simetría O (4) al grupo dinámico O (4,2), todo el espectro y todas las transiciones se integraron en una única representación de grupo irreducible. ^[18]

En 1979, el átomo de hidrógeno (no relativista) fue resuelto por primera vez dentro de la formulación integral de ruta de Feynman de la mecánica cuántica por Duru y Kleinert. ^{[19] [20]} Este trabajo amplió enormemente el rango de aplicabilidad del método de Feynman .

Ver también

El modelo estereotipado del "sistema solar" para el hidrógeno.

Antihidrógeno Orbital atómico Serie Balmer Átomo de helio Átomo de litio Ion molecular de hidrógeno

Decaimiento de protones Química cuántica Estado cuántico Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger Catión trihidrógeno Lista de sistemas de mecánica cuántica con soluciones analíticas

Referencias

1. Palmer, D. (13 de septiembre de 1997). "Hidrógeno en el Universo" . NASA . Archivado desde el original el 29 de octubre de 2014 . Consultado el 23 de febrero de 2017 .
2. Housecroft, Catherine E .; Sharpe, Alan G. (2005). Química inorgánica (2ª ed.). Pearson Prentice-Hall. pag. 237. ISBN 0130-39913-2.
3. Olsen, James; McDonald, Kirk (7 de marzo de 2005). "Vida clásica de un átomo de Bohr" (PDF) . Joseph Henry Laboratories, Universidad de Princeton.
4. "Derivación de las ecuaciones de Bohr para el átomo de un electrón" (PDF) . Universidad de Massachusetts Boston.
5. Eite Tiesinga, Peter J. Mohr, David B. Newell y Barry N. Taylor (2019), "Los valores recomendados de las constantes físicas fundamentales de CODATA 2018" (versión web 8.0). Base de datos desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova. Disponible en http://physics.nist.gov/constants , Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899. Enlace a R ∞ , Enlace a hcR ∞
6. "Resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno :: Física atómica :: Espacio web de Rudi Winter" . users.aber.ac.uk . Consultado el 30 de noviembre de 2020 .
7. Mesías, Albert (1999). Mecánica cuántica . Nueva York: Dover. pag. 1136. ISBN 0-486-40924-4.
8. LaguerreL . Página de Wolfram Mathematica
9. Griffiths, pág. 152
10. Condon y Shortley (1963). La teoría de los espectros atómicos . Londres: Cambridge. pag. 441.
11. Griffiths, cap. 4 p. 89
12. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman . pag. Apéndice 5. ISBN 0-582-44401-2.
13. Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien [ Estructura atómica y líneas espectrales ]. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7. Alemán inglés
14. Atkins, Peter; de Paula, Julio (2006). Química física (8ª ed.). WH Freeman. pag. 349 . ISBN 0-7167-8759-8.
15. Klauder, John R (21 de junio de 1996). "Estados coherentes para el átomo de hidrógeno". Revista de Física A: Matemática y General . 29 (12): L293 – L298. arXiv : quant-ph / 9511033 . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 29/12/002 . S2CID 14124660 . 
16. Resumen de números cuánticos atómicos . Notas de lectura. 28 de julio de 2006
17. Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Bibcode : 1926ZPhy ... 36..336P . doi : 10.1007 / BF01450175 .
18. Kleinert H. (1968). "Dinámica de grupo del átomo de hidrógeno" (PDF) . Conferencias en física teórica, editado por WE Brittin y AO Barut, Gordon y Breach, NY 1968 : 427–482.
19. Duru IH, Kleinert H. (1979). "Solución de la integral de trayectoria para el átomo de H" (PDF) . Physics Letters B . 84 (2): 185–188. Código Bibliográfico : 1979PhLB ... 84..185D . doi : 10.1016 / 0370-2693 (79) 90280-6 .
20. Duru IH, Kleinert H. (1982). "Mecánica cuántica de H-Atom de Path Integrals" (PDF) . Fortschr. Phys . 30 (2): 401–435. Código Bibliográfico : 1982ForPh..30..401D . doi : 10.1002 / prop.19820300802 .

Libros

• Griffiths, David J. (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall . ISBN 0-13-111892-7. La sección 4.2 trata específicamente del átomo de hidrógeno, pero todo el capítulo 4 es relevante.
• Kleinert, H. (2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4a edición, Worldscibooks.com , World Scientific, Singapur (también disponible en línea physik.fu-berlin.de )

Enlaces externos

• Física del átomo de hidrógeno en Scienceworld
• Orbitales del átomo de hidrógeno en c ++ y visualización en python

Más ligero: (ninguno, el más ligero posible)	El átomo de hidrógeno es un isótopo de hidrógeno.	Más pesado: hidrógeno-2
Producto de desintegración de: helio-2 de neutrones libres	Cadena de desintegración del átomo de hidrógeno	Decae a: Estable