En matemáticas , y en particular en la teoría de la homotopía , una hipercubierta (o hipercubierta) es un objeto simplicial que generaliza el nervio Čech de una cubierta . Para el nervio Čech de una tapa abierta, se puede demostrar que si el espacio es compacto y si cada intersección de conjuntos abiertos en la cubierta es contráctil, entonces uno puede contraer estos conjuntos y obtener un conjunto simple que es débilmente equivalente a de forma natural. Para la topología étale y otros sitios, estas condiciones fallan. La idea de una hipercubierta es, en lugar de trabajar únicamente con-doblen las intersecciones de los conjuntos de la cubierta abierta dada , para permitir las intersecciones por pares de los conjuntos en ser cubierto por una cubierta abierta , y dejar que las intersecciones triples de esta cubierta sean cubiertas por otra cubierta abierta , y así sucesivamente, de forma iterativa. Las hipercubrimientos tienen un papel central en la homotopía étale y otras áreas donde la teoría de la homotopía se aplica a la geometría algebraica , como la teoría de la homotopía motívica .
Definicion formal
La definición original dada para la cohomología étale por Jean-Louis Verdier en SGA4 , Expose V, Sec. 7, Thm. 7.4.1, para calcular la cohomología de gavillas en topologías de Grothendieck arbitrarias. Para el sitio étale, la definición es la siguiente:
Dejar ser un esquema y considerar la categoría de esquemas étale sobre. Una hipercubierta es un objeto simplicial de esta categoría de modo que es una portada étale y tal que es una portada étale para cada .
Aquí, es el límite del diagrama que tiene una copia de para cada -cara dimensional del estándar -simplex (para ), y un morfismo por cada inclusión de caras. Los morfismos están dados por los mapas de límites del objeto simplicial.
Propiedades
El teorema de la hipercubierta de Verdier establece que la cohomología de la gavilla abeliana de una gavilla étale se puede calcular como un colimit de las cohomologías de la cocadena sobre todas las hipercubiertas.
Para un esquema localmente noetheriano , la categoría de hipercubrimientos, la homotopía módulo simplicial es cofiltrante y, por lo tanto, da un pro-objeto en la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. La realización geométrica de esto es el tipo de homotopía Artin-Mazur . Una generalización de E. Friedlander que utiliza hiperrevestimientos bisimpliciales de esquemas simpliciales se denomina tipo topológico étale.
Referencias
- Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Homotopía de étale . Saltador.
- Friedlander, Eric (1982). Étale homotopía de esquemas simpliciales . Annals of Mathematics Studies, PUP.
- Notas de la conferencia de G. Quick " Étale homotopy lecture 2 ".
- Hypercover en nLab