En topología , el nervio de una cubierta abierta es una construcción de un complejo simplicial abstracto a partir de una cubierta abierta de un espacio topológico X que captura muchas de las propiedades topológicas interesantes de una manera algorítmica o combinatoria. Fue introducido por Pavel Alexandrov [1] y ahora tiene muchas variantes y generalizaciones, entre ellas el nervio Čech de una cubierta, que a su vez está generalizada por hipercubiertas . [2]
Definición de Alexandrov
Dejar ser un espacio topológico, ser un conjunto de índices yser una familia de subconjuntos abiertos de indexado por . El descaro de es un conjunto de subconjuntos finitos del conjunto de índices . Contiene todos los subconjuntos finitos tal que la intersección de la cuyos subíndices están en no está vacío:
puede contener singletons (elementos tal que no está vacío), pares (pares de elementos tal que ), trillizos, etc. Si, entonces cualquier subconjunto de también está en , haciendo un complejo simplicial abstracto , a menudo llamado el complejo nervioso de.
Ejemplos de
1. Sea X el círculo S 1 y C = { U 1 , U 2 }, donde U 1 es un arco que cubre la mitad superior de S 1 y U 2 es un arco que cubre su mitad inferior, con algo de superposición en ambos lados (deben superponerse en ambos lados para cubrir todo S 1 ). Entonces N (C) = {{1}, {2}, {1,2}}, que es un simple 1 abstracto.
2. Sea X el círculo S 1 y C = { U 1 , U 2 , U 3 }, donde cada U i es un arco que cubre un tercio de S 1 , con cierta superposición con la U i adyacente . Entonces N (C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Tenga en cuenta que {1,2,3} no está en N ( C ) ya que la intersección común de los tres conjuntos está vacía.
El nervio Čech
Dada una tapa abierta de un espacio topológico , o más generalmente una cubierta en un sitio, podemos considerar los productos de fibra por pares , que en el caso de un espacio topológico son precisamente las intersecciones . La colección de todas estas intersecciones puede denominarse y las intersecciones triples como .
Considerando los mapas naturales y , podemos construir un objeto simplicial definido por , producto de fibra n-pliegue. Este es el nervio Čech. [3]
Al tomar componentes conectados obtenemos un conjunto simple , que podemos realizar topológicamente:.
Teoremas de los nervios
En general, el complejo N ( C ) no necesita reflejar la topología de X con precisión. Por ejemplo, podemos cubrir cualquier n -esfera con dos conjuntos contráctiles U 1 y U 2 que tienen una intersección no vacía, como en el ejemplo 1 anterior. En este caso, N (C) es un 1-simplex abstracto, que es similar a una línea pero no a una esfera.
Sin embargo, en algunos casos, N ( C ) refleja la topología de X . Por ejemplo, si un círculo está cubierto por tres arcos abiertos, que se cruzan en pares como en el ejemplo 2 anterior, entonces N ( C ) es un 2-simplex (sin su interior) y es homotopía equivalente al círculo original.
Un teorema nervio (o lema nervio ) es un teorema que da condiciones suficientes en C que garantizan que N ( C ) refleja, en cierto sentido, la topología de X .
El teorema básico del nervio de Leray dice que, si cualquier intersección de conjuntos en N (C) es contráctil (equivalentemente: para cada finito el conjunto está vacío o se puede contraer; equivalentemente: C es una buena cubierta abierta ) , a continuación, N ( C ) es homotopy equivalente a X . [5]
Otro teorema del nervio se relaciona con el nervio Čech anterior: si es compacto y todas las intersecciones de conjuntos en C son contraíbles o vacías, entonces el espacioes homotopía equivalente a. [6]
Teorema del nervio homológico
El siguiente teorema del nervio utiliza los grupos de homología de intersecciones de conjuntos en la cubierta. [7] Para cada finito, denotar el j -ésimo grupo de homología reducida de.
Si H J, j es el grupo trivial para todo J en el k -esqueleto de N ( C ) y para todo j en {0, ..., k -dim ( J )}, entonces N ( C ) es "homología -equivalente "a X en el siguiente sentido:
- para todo j en {0, ..., k };
- Si luego .
Ver también
Referencias
- ^ Aleksandroff, PD (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen . 98 : 617–635. doi : 10.1007 / BF01451612 . S2CID 119590045 .
- ^ Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (31 de diciembre de 1952). Fundamentos de la topología algebraica . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. doi : 10.1515 / 9781400877492 . ISBN 978-1-4008-7749-2.
- ^ "Nervio Čech en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
- ^ Artin, M .; Mazur, B. (1969). "Etale Homotopy". Apuntes de clase en matemáticas . 100 . doi : 10.1007 / bfb0080957 . ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434 .
- ^ 1969-, Ghrist, Robert W. (2014). Topología aplicada elemental (Edición 1.0 ed.). [Estados Unidos]. ISBN 9781502880857. OCLC 899283974 .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
- ^ Teorema del nervio en nLab
- ^ Meshulam, Roy (1 de enero de 2001). "El complejo de la camarilla y el emparejamiento de hipergráficos". Combinatorica . 21 (1): 89–94. doi : 10.1007 / s004930170006 . ISSN 1439-6912 . S2CID 207006642 .