En álgebra abstracta , el idealizador de un subgrupo T de un semigrupo S es el subsemigrupo más grande de S en el que T es un ideal . [1] Tal idealizador viene dado por
En teoría de anillos , si A es un subgrupo aditivo de un anillo R , entonces(definido en el semigrupo multiplicativo de R ) es el subanillo más grande de R en el que A es un ideal de dos caras. [2] [3]
En álgebra de Lie , si L es un anillo de Lie (o álgebra de Lie ) con el producto de Lie [ x , y ], y S es un subgrupo aditivo de L , entonces el conjunto
Clásicamente se denomina normalizador de S , sin embargo, es evidente que este conjunto es en realidad el equivalente en anillo de Lie del idealizador. No es necesario especificar que [ S , R ] ⊆ S , porque anticonmutatividad de las causas de productos Lie [ s , r ] = - [ r , s ] ∈ S . El "normalizador" de Lie de S es el subanillo más grande de L en el que S es un ideal de Lie.
Comentarios
A menudo, cuando los ideales de derecha o izquierda son los subgrupos aditivos de R de interés, el idealizador se define más simplemente aprovechando el hecho de que la multiplicación por elementos del anillo ya está absorbida en un lado. Explícitamente,
si T es un ideal correcto, o
si L es un ideal de izquierda.
En álgebra conmutativa , el idealizador está relacionado con una construcción más general. Dado un anillo conmutativo R , y dados dos subconjuntos A y B de un módulo R derecho M , el conductor o transportador está dado por
- .
En términos de esta notación conductora, un subgrupo aditivo B de R tiene idealizador
- .
Cuando A y B son ideales de R , el conductor es parte de la estructura de la celosía residuated de ideales de R .
- Ejemplos de
El multiplicador álgebra M ( A ) de una C * -algebra A es isomorfo a la idealizador de π ( A ) donde π es cualquier representación no degenerado fiel de A en un espacio de Hilbert H .
Notas
- ↑ Mikhalev 2002 , p.30.
- ^ Goodearl 1976 , p.121.
- ^ Levy y Robson 2011 , p.7.
Referencias
- Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos y módulos no singulares , Matemáticas puras y aplicadas, No. 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs. Viii + 206, MR 0429962
- Levy, Lawrence S .; Robson, J. Chris (2011), Anillos primos e idealizadores noetherianos hereditarios , Encuestas y monografías matemáticas, 174 , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. Iv + 228, ISBN 978-0-8218-5350-4, MR 2790801
- Mikhalev, Alexander V .; Pilz, Günter F., eds. (2002), El manual conciso de álgebra , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. Xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4, Señor 1966155