En matemáticas , el álgebra multiplicadora , denotada por M ( A ), de un C * -álgebra A es un C * -algebra unital que es el mayor unital C * -álgebra que contiene A como un ideal en un "no degenerado" camino. Es la generalización no conmutativa de la compactación Stone-Čech . Las álgebras multiplicadoras fueron introducidas por Busby (1968) .
Por ejemplo, si A es el C * -algebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert separable , M ( A ) es B ( H ), el C * -algebra de todos los operadores acotados sobre H .
Definición
Se dice que un I ideal en un C * -álgebra B es esencial si I ∩ J no es trivial para todo J ideal . Un ideal I es esencial si y solo si I ⊥ , el "complemento ortogonal" de I en el módulo B de Hilbert C * es {0}.
Sea A un C * -álgebra. Su álgebra multiplicadora M ( A ) es cualquier C * -álgebra que satisfaga la siguiente propiedad universal : para todo C * -álgebra D que contenga A como ideal, existe un único * -homomorfismo φ: D → M ( A ) tal que φ extiende el homomorfismo de identidad en A y φ ( A ⊥ ) = {0}.
La unicidad hasta el isomorfismo está especificada por la propiedad universal. Cuando A es unital, M ( A ) = A . También se deduce de la definición que para cualquier D que contenga A como ideal esencial, el álgebra multiplicadora M ( A ) contiene D como una C * -subálgebra.
La existencia de M ( A ) se puede demostrar de varias formas.
Un doble centralizador de un C * -algebra A es un par ( L , R ) de delimitado lineal mapas en A tal que aL ( b ) = R ( un ) b para todos una y b en A . Esto implica que || L || = || R ||. Al conjunto de centralizadores dobles de A se le puede dar una estructura de C * -álgebra. Esta C * -álgebra contiene A como un ideal esencial y puede identificarse como el álgebra multiplicadora M ( A ). Por ejemplo, si A son los operadores compactos K ( H ) en un espacio de Hilbert separable, entonces cada x ∈ B ( H ) define un doble centralizador de A simplemente multiplicando de izquierda a derecha.
Alternativamente, M ( A ) se puede obtener mediante representaciones. Será necesario el siguiente hecho:
Lema. Si I es un ideal en un C * -algebra B , entonces cualquier fiel representación no degenerado π de I se puede extender de forma única a B .
Ahora tome cualquier representación fiel no degenerado π de A en un espacio de Hilbert H . El lema anterior, junto con la propiedad universal del álgebra multiplicadora, da como resultado que M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ) en B ( H ). Es inmediato que M ( K ( H )) = B ( H ).
Por último, sea E un módulo C * de Hilbert y B ( E ) (resp. K ( E )) los operadores adjuntos (resp. Compacto) en E M ( A ) se puede identificar mediante un * -homomorfismo de A en B ( E ). Algo similar al lema anterior es cierto:
Lema. Si I es un ideal en un C * -algebra B , entonces cualquier no degenerado fiel * -homomorphism π de I en B ( E ) puede ser extendido de forma única a B .
En consecuencia, si π es un homomorfismo fiel no degenerado * de A en B ( E ), entonces M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ). Por ejemplo, M ( K ( E )) = B ( E ) para cualquier módulo E de Hilbert .
El C * -álgebra A es isomorfo a los operadores compactos en el módulo A de Hilbert . Por lo tanto, M ( A ) es los operadores adjointable en A .
Topología estricta
Considere la topología en M ( A ) especificada por las seminormas { l a , r a } a ∈ A , donde
La topología resultante se denomina topología estricta en M ( A ). A es estrictamente denso en M ( A ).
Cuando A es unital, M ( A ) = A , y la topología estricta coincide con la topología normal. Para B ( H ) = M ( K ( H )), la topología estricta es la topología σ-fuerte * . De lo anterior se deduce que B ( H ) está completo en la topología σ-fuerte *.
Caso conmutativo
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto , A = C 0 ( X ), el C * -álgebra conmutativa de funciones continuas que se desvanecen en el infinito . Entonces M ( A ) es C b ( X ), las funciones acotadas continuas en X . Según el teorema de Gelfand-Naimark , uno tiene el isomorfismo de C * -álgebras
donde Y es el espectro de C b ( X ). Y es, de hecho homeomorfa a la compactación de Stone-Čech βX de X .
Álgebra de corona
La corona o corona álgebra de A es el cociente M ( A ) / A . Por ejemplo, el álgebra de corona del álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert es el álgebra de Calkin .
El álgebra de corona es un análogo no conmutativo del conjunto de corona de un espacio topológico.
Referencias
- B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras , Publicaciones de MSRI, 1986.
- Busby, Robert C. (1968), "Doble centralizadores y extensiones de C * -algebras" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 132 : 79–99, doi : 10.2307 / 1994883 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994883 , MR 0225175 , archivado desde el original (PDF) el 2020-02-20
- Pedersen, Gert K. (2001) [1994], "Multiplicadores de C * -álgebras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press