Índice de un subgrupo

En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , el índice de un subgrupo H en un grupo G es el número de la izquierda clases laterales de H en G , o equivalentemente, el número de clases laterales derechas de H en G . El índice se denota o o . Debido a que G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas y debido a que cada clase lateral izquierda tiene el mismo tamaño que H , el índice está relacionado con los órdenes de los dos grupos mediante la fórmula ${\ Displaystyle | G: H |}$ ${\ Displaystyle [G: H]}$ ${\ Displaystyle (G: H)}$

(interprete las cantidades como números cardinales si algunos de ellos son infinitos). Así, el índice mide los "tamaños relativos" de G y H . ${\ Displaystyle | G: H |}$

Por ejemplo, sea el grupo de enteros bajo la suma , y sea el subgrupo que consiste en los enteros pares . Entonces tiene dos clases laterales en , a saber, el conjunto de enteros pares y el conjunto de enteros impares, por lo que el índice es 2. Más generalmente, para cualquier entero positivo n . ${\ Displaystyle G = \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle H = 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} |}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {Z}: n \ mathbb {Z} | = n}$

Cuando G es finito , la fórmula se puede escribir como , e implica el teorema de Lagrange que divide . ${\ Displaystyle | G: H | = | G | / | H |}$ ${\ Displaystyle | H |}$ ${\ Displaystyle | G |}$

Cuando G es infinito, es un número cardinal distinto de cero que puede ser finito o infinito. Por ejemplo, pero es infinito. ${\ Displaystyle | G: H |}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {Z}: 2 \ mathbb {Z} | = 2}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {R}: \ mathbb {Z} |}$