Límite inferior y límite superior

En matemáticas , el límite inferior y el límite superior de una secuencia se pueden considerar como límites (es decir, eventuales y extremos) de la secuencia. Se pueden pensar de manera similar para una función (ver límite de una función ). Para un conjunto, son el ínfimo y el supremo de los puntos límite del conjunto., respectivamente. En general, cuando hay múltiples objetos alrededor de los cuales se acumula una secuencia, función o conjunto, los límites inferior y superior extraen el menor y el mayor de ellos; el tipo de objeto y la medida del tamaño dependen del contexto, pero la noción de límites extremos es invariable. El límite inferior también se llama límite infimum , límite infimum , liminf , límite inferior , límite inferior o límite interior ; límite superior también se conoce como límite supremo , límite supremo , limsup , límite superior , límite superior o límite exterior .

El límite inferior de una sucesión se denota por${\ estilo de visualización x_ {n}}$

Alternativamente, las notaciones y se utilizan a veces.${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Los límites superior e inferior se pueden definir de manera equivalente utilizando el concepto de límites subsiguientes de la sucesión . ^[1] Un elemento de los números reales extendidos es un límite subsecuente de si existe una secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que . Si es el conjunto de todos los límites subsiguientes de , entonces ${\ estilo de visualización (x_ {n})}$${\ estilo de visualización \ xi}$${\displaystyle {\overline {\mathbb{R} }}}$${\ estilo de visualización (x_ {n})}$${\ estilo de visualización (n_ {k})}$${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty}x_{n_{k}}}$${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$${\ estilo de visualización (x_ {n})}$

Una ilustración de límite superior y límite inferior. La secuencia x _n se muestra en azul. Las dos curvas rojas se acercan al límite superior y al límite inferior de x _n , que se muestran como líneas negras discontinuas. En este caso, la secuencia se acumula alrededor de los dos límites. El límite superior es el mayor de los dos, y el límite inferior es el menor de los dos. Los límites inferior y superior concuerdan si y sólo si la sucesión es convergente (es decir, cuando hay un único límite).

En caso de que la secuencia esté acotada, casi todos los miembros de la secuencia se encuentran en el intervalo abierto${\ estilo de visualización \ épsilon > 0}$${\displaystyle (\liminf_{n\to \infty}x_{n}-\epsilon,\limsup_{n\to \infty}x_{n}+\epsilon).}$