Orden total

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En matemáticas , un orden total o lineal es un orden parcial en el que dos elementos cualesquiera son comparables. Es decir, un orden total es una relación binaria sobre algún conjunto , que satisface lo siguiente para todos y en :${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X}$

Un conjunto equipado con un orden total es un conjunto totalmente ordenado ; ^[4] También se utilizan los términos conjunto simplemente ordenado , ^[1] conjunto linealmente ordenado , ^{[2] [4]} y loset ^{[5] [6]} . El término cadena a veces se define como sinónimo de conjunto totalmente ordenado , ^[4] pero generalmente se refiere a algún tipo de subconjuntos totalmente ordenados de un conjunto dado parcialmente ordenado.

Una extensión de un orden parcial dado a un orden total se denomina extensión lineal de ese orden parcial.

Un orden total estricto en un conjunto es un orden parcial estricto en el que dos elementos cualesquiera son comparables. Es decir, un orden total es una relación binaria sobre algún conjunto , que satisface lo siguiente para todos y en :${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X}$

Para cada orden total (no estricto) existe una relación asociada , llamada orden total estricto asociado que se puede definir de dos formas equivalentes:${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <}$${\displaystyle \leq }$

A la inversa, la clausura reflexiva de un orden total estricto es un orden total (no estricto).${\displaystyle <}$

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