Prueba de matriz de información

En econometría , la prueba de la matriz de información se utiliza para determinar si un modelo de regresión está mal especificado . La prueba fue desarrollada por Halbert White , ^[1] quien observó que en un modelo correctamente especificado y bajo supuestos de regularidad estándar, la matriz de información de Fisher se puede expresar de dos maneras: como el producto externo del gradiente o como una función. de la matriz de Hesse de la función logarítmica de verosimilitud.

Considere un modelo lineal ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} \mathbf {\beta } +\mathbf {u} }$, donde los errores ${\displaystyle \mathbf {u} }$ se supone que están distribuidos ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}\mathbf {I} )}$. Si los parámetros${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ están apilados en el vector ${\displaystyle \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}\beta &\sigma ^{2}\end{bmatrix}}}$, la función de probabilidad logarítmica resultante es

${\displaystyle \ell (\mathbf {\theta } )=-{\frac {n}{2}}\log \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } \right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } \right)}$

La matriz de información se puede expresar como

${\displaystyle \mathbf {I} (\mathbf {\theta } )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right)\left({\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right)^{\mathsf {T}}\right]}$

ese es el valor esperado del producto externo del gradiente o puntuación . En segundo lugar, se puede escribir como el negativo de la matriz hessiana de la función logarítmica de verosimilitud

${\displaystyle \mathbf {I} (\mathbf {\theta } )=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } \,\partial \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}}}\right]}$

Si el modelo se especifica correctamente, ambas expresiones deben ser iguales. Combinando las formas equivalentes se obtiene

${\displaystyle \mathbf {\Delta } (\mathbf {\theta } )=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial ^{2}\ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } \,\partial \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}}}+{\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}{\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right]}$

donde ${\displaystyle \mathbf {\Delta } (\mathbf {\theta } )}$ es un ${\displaystyle (r\times r)}$ matriz aleatoria , donde${\displaystyle r}$es el número de parámetros. White demostró que los elementos de${\displaystyle n^{-1/2}\mathbf {\Delta } (\mathbf {\hat {\theta }} )}$, donde ${\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} }$es el MLE, se distribuyen asintóticamente normalmente con media cero cuando el modelo está correctamente especificado. ^[2] Sin embargo, en muestras pequeñas, la prueba generalmente funciona mal. ^[3]

Referencias

1. Blanco, Halbert (1982). "Estimación de máxima verosimilitud de modelos mal especificados". Econometrica . 50 (1): 1–25. JSTOR  1912526 .
2. Godfrey, LG (1988). Pruebas de errores de especificación en econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 35–37. ISBN 0-521-26616-5.
3. Orme, Chris (1990). "El rendimiento de muestra pequeña de la prueba de matriz de información". Revista de Econometría . 46 (3): 309–331. doi : 10.1016 / 0304-4076 (90) 90012-I .

Lectura adicional

• Krämer, W .; Sonnberger, H. (1986). El modelo de regresión lineal bajo prueba . Heidelberg: Physica-Verlag. págs. 105-110. ISBN 3-7908-0356-1.
• White, Halbert (1994). "Pruebas de matriz de información" . Análisis de estimación, inferencia y especificación . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 300–344. ISBN 0-521-25280-6.