En álgebra lineal , el producto externo de dos vectores coordinados es una matriz . Si los dos vectores tienen dimensiones n y m , a continuación, su producto externo es un n × m matriz. De manera más general, dados dos tensores (matrices multidimensionales de números), su producto externo es un tensor. El producto externo de los tensores también se conoce como su producto tensorial y se puede usar para definir el álgebra tensorial .
El producto exterior contrasta con
- El producto escalar , que toma un par de vectores de coordenadas como entrada y produce un escalar
- El producto Kronecker , que toma un par de matrices como entrada y produce una matriz de bloques
- Multiplicación de matrices estándar
Definición
Dados dos vectores
su producto externo, denotado u ⊗ v , [1] se define como la matriz A m × n obtenida al multiplicar cada elemento de u por cada elemento de v : [2]
O en notación de índice:
Si y son vectores de la misma dimensión, entonces .
El producto externo u ⊗ v es equivalente a una multiplicación de matrices uv T , siempre que u se representa como una m × 1 vector columna y v como n × 1 vector columna (que hace v T un vector fila). [3] [4] Por ejemplo, si m = 4 y n = 3 , entonces [5]
Para vectores complejos , a menudo es útil tomar la transpuesta conjugada de v , denotadao :
- .
Contraste con el producto interior euclidiano.
Si m = n , entonces se puede tomar el producto de la matriz al revés, obteniendo un escalar (o matriz 1 × 1 ):
que es el producto interno estándar para los espacios vectoriales euclidianos , [4] más conocido como el producto escalar . El producto interior es el rastro del producto exterior. [6] A diferencia del producto interior , el producto exterior no es conmutativo.
Multiplicación de un vector por la matriz se puede escribir en términos del producto interno, usando la relación .
El producto externo de los tensores.
Dados dos tensores u , v con dimensiones y , su producto exterior es un tensor con dimensiones y entradas
Por ejemplo, si A es de orden 3 con dimensiones (3, 5, 7) y B es de orden 2 con dimensiones (10, 100) , entonces su producto exterior C es de orden 5 con dimensiones (3, 5, 7, 10, 100) . Si A tiene un componente A [2, 2, 4] = 11 y B tiene un componente B [8, 88] = 13 , entonces el componente de C formado por el producto externo es C [2, 2, 4, 8, 88] = 143 .
Conexión con el producto Kronecker
El producto exterior y el producto Kronecker están estrechamente relacionados; de hecho, el mismo símbolo se usa comúnmente para denotar ambas operaciones.
Si y , tenemos:
En el caso de los vectores de columna, el producto Kronecker puede verse como una forma de vectorización (o aplanamiento) del producto exterior. En particular, para dos vectores de columna y , podemos escribir:
Tenga en cuenta que el orden de los vectores se invierte en el lado derecho de la ecuación.
Otra identidad similar que destaca aún más la similitud entre las operaciones es
donde no es necesario invertir el orden de los vectores. La expresión del medio usa la multiplicación de matrices, donde los vectores se consideran matrices de columna / fila.
Propiedades
El producto externo de los vectores satisface las siguientes propiedades:
El producto externo de los tensores satisface la propiedad de asociatividad adicional :
Rango de un producto externo
Si u y v son ambos distintos de cero, entonces el producto exterior matriz uv T siempre tiene rango matriz 1. De hecho, las columnas del producto exterior son todos proporcional a la primera columna. Por lo tanto, todos dependen linealmente de esa columna, por lo que la matriz es de rango uno.
("Rango de matriz" no debe confundirse con " orden de tensor " o "grado de tensor", que a veces se denomina "rango").
Definición (resumen)
Sean V y W dos espacios vectoriales . El producto externo de y es el elemento .
Si V es un espacio de producto interior , entonces es posible definir el producto externo como un mapa lineal V → W . En cuyo caso, el mapa lineales un elemento del espacio dual de V . El producto exterior V → W viene dado por
Esto muestra por qué se toma comúnmente una transpuesta conjugada de v en el caso complejo.
En lenguajes de programación
En algunos lenguajes de programación, dada una función de dos argumentos f
(o un operador binario), el producto externo de f
y dos matrices unidimensionales A
y B
es una matriz bidimensional C
tal que C[i, j] = f(A[i], B[j])
. Esto se representa sintácticamente de varias formas: en APL , como el operador binario infijo ; en J , como el adverbio postfijo ; en R , como la función o el especial ; [7] en Mathematica , como . En MATLAB, la función se utiliza para este producto. Estos a menudo se generalizan a argumentos multidimensionales y a más de dos argumentos.∘.f
f/
outer(A, B, f)
%o%
Outer[f, A, B]
kron(A, B)
En la biblioteca Python NumPy , el producto externo se puede calcular con function np.outer()
. [8] Por el contrario, np.kron
da como resultado una matriz plana. El producto externo de matrices multidimensionales se puede calcular usando np.multiply.outer
.
Aplicaciones
Como el producto exterior está estrechamente relacionado con el producto Kronecker , algunas de las aplicaciones del producto Kronecker utilizan productos exteriores. Estas aplicaciones se encuentran en la teoría cuántica, el procesamiento de señales y la compresión de imágenes . [9]
Spinors
Suponga que s, t, w, z ∈ ℂ de modo que ( s, t ) y ( w, z ) están en ℂ 2 . Entonces el producto externo de estos 2-vectores complejos es un elemento de M (2, ℂ), las matrices complejas 2 × 2:
- El determinante de esta matriz es swtz - sztw = 0 debido a la propiedad conmutativa de ℂ.
En la teoría de los espinores en tres dimensiones , estas matrices están asociadas a vectores isotrópicos debido a esta propiedad nula. Élie Cartan describió esta construcción en 1937, [10] pero fue introducida por Wolfgang Pauli en 1927 [11], por lo que M (2, ℂ) ha llegado a llamarse álgebra de Pauli .
Conceptos
La forma de bloque de los productos externos es útil en la clasificación. El análisis de conceptos es un estudio que depende de ciertos productos externos:
Cuando un vector tiene solo ceros y unos como entradas, se denomina vector lógico , un caso especial de matriz lógica . La operación lógica y ocupa el lugar de la multiplicación. El producto externo de dos vectores lógicos ( u i ) y ( v j ) viene dado por la matriz lógica. Este tipo de matriz se utiliza en el estudio de relaciones binarias y se denomina relación rectangular o vector cruzado . [12]
Ver también
- Diádicos
- Transformación de cabeza de familia
- Norma (matemáticas)
- Matriz de dispersión
- Cálculo de Ricci
Productos
- producto cartesiano
- Producto cruzado
- Producto exterior
- Producto Hadamard
Dualidad
- Complejo conjugado
- Transposición conjugada
- Transponer
- Notación de bra-ket para el producto exterior
Referencias
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
- ^ Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
- ^ Lipschutz, S .; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ a b Keller, Frank (23 de febrero de 2020). "Propiedades algebraicas de matrices; transponer; producto interno y externo" (PDF) . inf.ed.ac.uk . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
- ^ James M. Ortega (1987) Teoría de la matriz: un segundo curso , página 7, Plenum PressISBN 0-306-42433-9
- ^ Stengel, Robert F. (1994). Control y estimación óptimos . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 26. ISBN 0-486-68200-5.
- ^ "función externa | Documentación R" . www.rdocumentation.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
- ^ "numpy.outer - Manual de NumPy v1.19" . numpy.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
- ^ Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Aplicaciones (Capítulo 3)". Cálculo matricial y producto Kronecker: un enfoque práctico del álgebra lineal y multilineal (2 ed.). World Scientific. ISBN 981-4335-31-2.
- ^ Élie Cartan (1937) Lecons sur la theorie des spineurs , traducido en 1966: La teoría de los espinos , Hermann, París
- ^ Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors , página 51, Cambridge University PressISBN 0-521-59916-4
- ^ Ki Hang Kim (1982) Teoría y aplicaciones de la matriz booleana , página 37, Marcel DekkerISBN 0-8247-1788-0
Otras lecturas
- Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). "Productos exteriores y proyecciones ortogonales" . Álgebra lineal: desde el principio . Macmillan. págs. 217–218.