Funciones de suelo y techo

Funciones matemáticas redondeando un número a los dos enteros más cercanos

Para otros usos, consulte Floor (desambiguación) y Ceiling (desambiguación) .

Funciones de suelo y techo

Función de techo

En matemáticas y ciencias de la computación , la función piso es la función que toma como entrada un número real x , y da como salida el mayor entero menor o igual ax , denotado piso ( x ) o ⌊ x ⌋ . De manera similar, la función de techo asigna x al menor número entero mayor o igual que x , denotado ceil ( x ) o ⌈ x ⌉ . ^[1]

Por ejemplo, ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊ − 2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈ − 2.4⌉ = −2 .

La parte integral o la parte entera de x , a menudo denotada como [ x ], se define normalmente como ⌊ x ⌋ si x no es negativa, y ⌈ x ⌉ en caso contrario. Por ejemplo, [2.4] = 2 y [−2.4] = −2 . La operación de truncamiento generaliza esto a un número específico de dígitos: el truncamiento a cero dígitos significativos es lo mismo que la parte entera.

Algunos autores definen la parte entera como el piso independientemente del signo de x , utilizando una variedad de notaciones para esto. ^[2]

Para n un número entero, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .

Notación

La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre .

Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetes en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). ^[3] Esto siguió siendo el estándar ^[4] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "piso" y "techo" y las notaciones correspondientes y . ^{[5] [6]} Ambas notaciones se utilizan ahora en matemáticas, ^[7] aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$

En algunas fuentes, se utilizan corchetes dobles o en negrita para el piso y corchetes invertidos o] x [para el techo. ^{[8] [9]} A veces se toma como referencia a la función de redondeo hacia cero. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle [\![x]\!]}$${\displaystyle ]\!]x[\![}$${\displaystyle [x]}$

La parte fraccionaria es la función de diente de sierra , denotada por x real y definida por la fórmula ^[10]${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor .}$

Para todo x ,

${\displaystyle 0\leq \{x\}<1.}$

Ejemplos de

X	Piso ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$	Techo ${\displaystyle \lceil x\rceil }$	Parte fraccional ${\displaystyle \{x\}}$
2	2	2	0
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0,9
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Tipografía

Las funciones de piso y techo generalmente se componen con corchetes izquierdo y derecho, donde faltan las barras horizontales superior (para función de piso) o inferior (para función de techo) ( para piso y techo). Estos caracteres se proporcionan en Unicode: ${\displaystyle \lfloor \,\rfloor }$${\displaystyle \lceil \,\rceil }$

• U + 2308 ⌈ TECHO IZQUIERDO (HTML ⌈  · ⌈, ⌈ )
• U + 2309 ⌉ TECHO DERECHO (HTML ⌉  · ⌉, ⌉ )
• U + 230A ⌊ PISO IZQUIERDO (HTML ⌊  · ⌊, ⌊ )
• U + 230B ⌋ PISO DERECHO (HTML ⌋  · ⌋, ⌋ )

En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático, y ampliar su tamaño usando y según sea necesario.\lfloor, \rfloor, \lceil\rceil\left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil\right\rceil

Definición y propiedades

Dadas números reales x y y , números enteros k , m , n y el conjunto de números enteros , piso y techo pueden ser definidos por las ecuaciones${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Puesto que no es exactamente un número entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay números enteros únicos m y n satisface la ecuación

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

donde  y  también puede tomarse como la definición de suelo y techo.${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

Equivalencias

Estas fórmulas se pueden usar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}$

En el lenguaje de la teoría del orden , la función de piso es un mapeo residuo , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los enteros en los reales.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Estas fórmulas muestran cómo la suma de números enteros a los argumentos afecta a las funciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; Sin embargo, para cada x e y , las siguientes desigualdades se cumplen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Relaciones entre las funciones

De las definiciones se desprende claramente que

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$   con igualdad si y solo si x es un número entero, es decir

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

De hecho, para números enteros n , las funciones de piso y techo son la identidad :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Negar el argumento cambia piso y techo y cambia el letrero:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Las funciones de piso, techo y parte fraccionaria son idempotentes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

debido a la propiedad de identidad de los números enteros.

Cocientes

Si m y n son números enteros y n ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Si n es un número entero positivo ^[12]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Si m es positivo ^[13]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Para m = 2, esto implica

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

De manera más general, ^[14] para m positivo (Ver identidad de Hermite )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Lo siguiente se puede utilizar para convertir suelos en techos y viceversa ( m positivo) ^[15]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Para todos m y n enteros positivos estrictamente: ^{[16] [ mejor fuente necesario ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

que, para m y n positivos y coprimos , se reduce a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

Puesto que el lado derecho del caso general es simétrica en m y n , esto implica que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

Más en general, si m y n son positivos,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

A esto a veces se le llama ley de reciprocidad . ^[17]

Divisiones anidadas

Para un entero positivo n y números reales arbitrarios m , x : ^[18]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Continuidad y expansiones de series

Ninguna de las funciones descritas en este artículo son continuas , pero todos son lineal por partes : las funciones , y tienen discontinuidades en los enteros.${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  es superior semi-continuo y     y   son más bajos semi-continua.${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

Dado que ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones de la serie de Fourier uniformemente convergentes . La función de parte fraccionaria tiene expansión de la serie de Fourier ^[19]

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

para x no es un número entero.

En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y / 2, en lugar de a x  mod  y  = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.

Usando la fórmula floor (x) = x - {x} da

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

para x no es un número entero.

Aplicaciones

Operador de mod

Para un entero x y un entero positivo y , la operación de módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a bienes x y y , y ≠ 0, por la fórmula

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Luego, de la definición de función de piso se deduce que esta operación extendida satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,

si y es positivo,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

y si y es negativo,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

Reciprocidad cuadrática

La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. ^{[20] [21]}

Deje que p y q sean distintos números primos impares positivos, y dejar

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$ ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$

Primero, el lema de Gauss se usa para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}$

y

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

El segundo paso es usar un argumento geométrico para demostrar que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Hay fórmulas que usan floor para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p : ^[22]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

Redondeo

Para un número real arbitrario , el redondeo al entero más cercano con la ruptura del empate hacia el infinito positivo viene dado por ; el redondeo hacia el infinito negativo se da como .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {\lfloor 2x\rfloor }{2}}\right\rceil }$${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {\lceil 2x\rceil }{2}}\right\rfloor }$

Si el desempate está lejos de 0, entonces la función de redondeo es , y el redondeo hacia pares se puede expresar con el más engorroso , que es la expresión anterior para redondear hacia infinito positivo menos un indicador de integralidad para .${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rfloor -1}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x-1}{4}}}$

Número de dígitos

El número de dígitos en la base b de un entero positivo k es

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Factores de factoriales

Sea n un número entero positivo yp un número primo positivo. El exponente de la mayor potencia de p que divide n ! viene dada por una versión de la fórmula de Legendre ^[23]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

donde es la forma de escribir n en base p . Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p ^k > n .${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

Secuencia de Beatty

La secuencia de Beatty muestra cómo cada número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos secuencias a través de la función de piso. ^[24]

Constante de Euler (γ)

Hay fórmulas para la constante de Euler γ = 0.57721 56649 ... que involucran el piso y el techo, por ejemplo ^[25]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

y

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

Función zeta de Riemann (ζ)

La función de parte fraccionaria también se muestra en representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (usando la integración por partes) ^[26] que si es cualquier función con una derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ],${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b).}$

Dejando a parte real de s mayor que 1 y dejando un y b son enteros, y dejando b enfoque infinito da${\displaystyle \phi (n)={n}^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que -1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo. y probar su ecuación funcional. ^[27]

Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ <1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. ^[28]

Fórmulas para números primos

La función de piso aparece en varias fórmulas que caracterizan los números primos. Por ejemplo, dado que es igual a 1 si m divide n , y a 0 en caso contrario, se deduce que un entero positivo n es primo si y solo si ^[29]${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p _n el n -ésimo primo, y para cualquier entero r > 1, defina el número real α por la suma

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Entonces ^[30]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Un resultado similar es que hay un número θ = 1.3064 ... ( constante de Mills ) con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

son todos de primera. ^[31]

También hay un número ω = 1.9287800 ... con la propiedad que

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

son todos de primera. ^[31]

Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales que x . Es una deducción sencilla del teorema de Wilson que ^[32]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

Además, si n ≥ 2, ^[33]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene ningún uso práctico. ^{[34] [35]}

Problemas resueltos

Ramanujan envió estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . ^[36]

Si n es un entero positivo, demuestre que

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Problema no resuelto

El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:

¿Hay números enteros positivos k ≥ 6 tales que ^[37]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}$ ?

Mahler ^[38] ha demostrado que sólo puede haber un número finito de tales k ; ninguno es conocido.

Implementaciones informáticas

Función int de conversión de punto flotante en C

En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un entero no es piso o techo, sino truncamiento . La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas utilizaron el complemento de unos y el truncamiento fue más sencillo de implementar (el suelo es más sencillo en el complemento de dos ). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que esta es una decisión de diseño histórica desafortunada que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen. ^{[ cita requerida ]}

Un desplazamiento a la derecha bit a bit de un entero con signo es lo mismo que . La división por una potencia de 2 a menudo se escribe como un desplazamiento a la derecha, no por optimización como podría suponerse, sino porque se requiere el piso de resultados negativos. Asumir que tales cambios son una "optimización prematura" y reemplazarlos con una división puede romper el software. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{2^{n}}}\right\rfloor }$

Muchos lenguajes de programación (incluidos C , C ++ , ^{[39] [40]} C # , ^{[41] [42]} Java , ^{[43] [44]} PHP , ^{[45] [46]} R , ^[47] y Python ^[48] ) proporcionan funciones estándar para piso y techo, generalmente llamadas floory ceil, o con menos frecuencia ceiling. ^[49] El lenguaje que utiliza APL⌊x para suelo. El lenguaje de programación J , una continuación de APL que está diseñado para usar símbolos de teclado estándar, se usa <.para piso y>.para techo. ^[50] ALGOL utiliza entierpara suelos.

Hoja de cálculo

Esta sección necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. ( Agosto de 2008 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

La mayoría de los programas de hojas de cálculo admiten algún tipo de ceilingfunción. Aunque los detalles difieren entre los programas, la mayoría de las implementaciones admiten un segundo parámetro, un múltiplo del cual se redondeará el número dado. Por ejemplo, ceiling(2, 3)redondea 2 al múltiplo más cercano de 3, dando 3. La definición de lo que significa "redondear", sin embargo, difiere de un programa a otro.

Microsoft Excel usó casi exactamente lo opuesto a la notación estándar, con INTpara piso, que FLOORsignifica redondeo hacia cero y CEILINGsignifica redondeo desde cero. ^[51] Esto ha seguido hasta el formato de archivo Office Open XML . Excel 2010 ahora sigue la definición estándar. ^[52]

El formato de archivo OpenDocument , utilizado por OpenOffice.org , Libreoffice y otros, sigue la definición matemática de techo para su ceilingfunción, con un parámetro opcional para la compatibilidad con Excel. Por ejemplo, CEILING(-4.5)devuelve −4.

Ver también

• Soporte (matemáticas)
• Función de valor entero
• Función de paso

Notas

1. Graham, Knuth y Patashnik, cap. 3.1
2. 1) Luke Heaton, Breve historia del pensamiento matemático , 2015, ISBN  1472117158 (np)
   2) Albert A. Blank et al. , Cálculo: cálculo diferencial , 1968, p. 259
   3) John W. Warris, Horst Stocker, Manual de matemáticas y ciencias computacionales , 1998, ISBN 0387947469 , p. 151 
3. Lemmermeyer, págs.10, 23.
4. ejemplo, Cassels, Hardy & Wright y Ribenboim usan la notación de Gauss, Graham, Knuth & Patashnik y Crandall & Pomerance usan la notación de Iverson.
5. Iverson, pág. 12.
6. Higham, p. 25.
7. Consulte el artículo de Wolfram MathWorld.
8. Mathwords: función de piso .
9. Mathwords: función de techo
10. Graham, Knuth y Patashnik, p. 70.
11. Graham, Knuth y Patashink, cap. 3
12. Graham, Knuth y Patashnik, p. 73
13. Graham, Knuth y Patashnik, p. 85
14. Graham, Knuth y Patashnik, p. 85 y Ex. 3,15
15. Graham, Knuth y Patashnik, ej. 3.12
16. JEblazek, Combinatoire de N-modules de Catalan , Tesis de maestría, página 17.
17. Graham, Knuth y Patashnik, p. 94
18. Graham, Knuth y Patashnik, p. 71, aplique el teorema 3.10 con x / m como entrada y la división por n como función
19. Marisma de Titch, p. 15, ec. 2.1.7
20. Lemmermeyer, § 1.4, Ej. 1,32–1,33
21. Hardy y Wright, §§ 6.11–6.13
22. Lemmermeyer, pág. 25
23. Hardy y Wright, Th. 416
24. Graham, Knuth y Patashnik, págs. 77–78
25. Estas fórmulas son del artículo de Wikipedia La constante de Euler , que tiene muchas más.
26. Marisma de Titch, p. 13
27. Titchmarsh, págs. 14-15
28. Crandall y Pomerance, p. 391
29. Crandall y Pomerance, ej. 1.3, pág. 46. ​​El límite superior infinito de la suma se puede reemplazar con n . Una condición equivalente es n  > 1 es primo si y solo si.${\displaystyle \sum _{m=1}^{\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=1}$
30. Hardy y Wright, § 22.3
31. Ribenboim, pág. 186
32. Ribenboim, pág. 181
33. Crandall y Pomerance, ej. 1.4, pág. 46
34. Ribenboim, p.180 dice que "A pesar del nulo valor práctico de las fórmulas ... [ellas] pueden tener alguna relevancia para los lógicos que deseen comprender claramente cómo se pueden deducir varias partes de la aritmética a partir de diferentes axiomatizaciones ..."
35. Hardy & Wright, pp.344-345 "Cualquiera de estas fórmulas (o cualquiera similar) alcanzaría un estatus diferente si el valor exacto del número α ... pudiera expresarse independientemente de los números primos. No parece probable de esto, pero no se puede descartar como del todo imposible ".
36. Ramanujan, Pregunta 723, Documentos p. 332
37. Hardy y Wright, p. 337
38. Mahler, K. Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II , 1957, Mathematika, 4 , páginas 122-124
39. "Referencia de función de C ++ " . Consultado el 5 de diciembre de 2010 .floor
40. "Referencia de función de C ++ " . Consultado el 5 de diciembre de 2010 .ceil
41. dotnet-bot. "Método Math.Floor (Sistema)" . docs.microsoft.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
42. dotnet-bot. "Método Math.Ceiling (Sistema)" . docs.microsoft.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
43. "Matemáticas (Java SE 9 y JDK 9)" . docs.oracle.com . Consultado el 20 de noviembre de 2018 .
44. "Matemáticas (Java SE 9 y JDK 9)" . docs.oracle.com . Consultado el 20 de noviembre de 2018 .
45. "Manual de PHP para la función" . Consultado el 18 de julio de 2013 .ceil
46. "Manual de PHP para la función" . Consultado el 18 de julio de 2013 .floor
47. "R: redondeo de números" .
48. "Manual de Python para el módulo" . Consultado el 18 de julio de 2013 .math
49. Sullivan, pág. 86.
50. "Vocabulario" . J Idioma . Consultado el 6 de septiembre de 2011 .
51. "Descripción general de las funciones de redondeo de Excel" .
52. Pero la ayuda en línea proporcionada en 2010 no refleja este comportamiento.

Referencias

• JWS Cassels (1957), Introducción a la aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994), Matemáticas concretas , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Hardy, GH; Wright, EM (1980), Introducción a la teoría de los números (quinta edición) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Nicholas J. Higham, Manual de redacción para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , pág. 25 
• ISO / IEC . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Lenguajes de programación - C (2ª ed.), 1999; Sección 6.3.1.4, p. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), Un lenguaje de programación , Wiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Michael Sullivan. Precálculo , octava edición, pág. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2a ed.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las funciones de suelo y techo .

• "Función de piso" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Štefan Porubský, "Funciones de redondeo de enteros" , Portal de información interactivo para matemáticas algorítmicas , Instituto de Ciencias de la Computación de la Academia Checa de Ciencias, Praga, República Checa, consultado el 24 de octubre de 2008
• Weisstein, Eric W. "Función de suelo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Función de techo" . MathWorld .