Elemento integral
En álgebra conmutativa , se dice que un elemento b de un anillo conmutativo B es integral sobre A , un subanillo de B , si hay n ≥ 1 y una j en A tal que
Es decir, b es una raíz de un polinomio mónico sobre A . [1] El conjunto de elementos de B que son integral sobre A se llama el cierre integral de A en B . Es un subanillo de B que contiene A . Si cada elemento de B es entero sobre A , entonces se dice que B es integral sobre A , o equivalentemente B es una extensión integral de una .
Si A , B son campos, entonces las nociones de "integral sobre" y de "extensión integral" son precisamente "algebraica sobre" y " extensiones algebraicas " en la teoría de campos (dado que la raíz de cualquier polinomio es la raíz de un polinomio mónico ).
El caso de mayor interés en la teoría de números es el de los números complejos integrales sobre Z (p. Ej., O ); en este contexto, los elementos integrales generalmente se denominan enteros algebraicos . Los enteros algebraicos en un campo de extensión finito k de los racionales Q forman un subanillo de k , llamado anillo de enteros de k , un objeto central de estudio en la teoría algebraica de números .
En este artículo, se entenderá que el término anillo significa anillo conmutativo con identidad multiplicativa.
Hay muchos ejemplos de cierre integral que se pueden encontrar en la teoría algebraica de números, ya que es fundamental para definir el anillo de números enteros para una extensión de campo algebraico (o ).
