En cálculo integral, la integración por fórmulas de reducción es un método que se basa en relaciones de recurrencia . Se usa cuando una expresión que contiene un parámetro entero , generalmente en forma de potencias de funciones elementales, o productos de funciones trascendentales y polinomios de grado arbitrario , no se puede integrar directamente. Pero usando otros métodos de integración se puede configurar una fórmula de reducción para obtener la integral de la misma expresión o similar con un parámetro entero menor, simplificando progresivamente la integral hasta que pueda ser evaluada. [1] Este método de integración es uno de los primeros utilizados.
La fórmula de reducción se puede derivar usando cualquiera de los métodos comunes de integración, como integración por sustitución , integración por partes , integración por sustitución trigonométrica , integración por fracciones parciales , etc. La idea principal es expresar una integral que involucra un parámetro entero (p. Ej. potencia) de una función, representada por I n , en términos de una integral que involucra un valor menor del parámetro (menor potencia) de esa función, por ejemplo I n -1 o I n -2 . Esto hace que la fórmula de reducción sea un tipo de relación de recurrencia . En otras palabras, la fórmula de reducción expresa la integral
en términos de
dónde
Para calcular la integral, establecemos n en su valor y usamos la fórmula de reducción para expresarlo en términos de la integral ( n - 1) o ( n - 2). La integral de índice más bajo se puede utilizar para calcular las de índice más alto; el proceso se continúa repetidamente hasta que llegamos a un punto en el que se puede calcular la función a integrar, generalmente cuando su índice es 0 o 1. Luego sustituimos por retroceso los resultados anteriores hasta que hayamos calculado I n . [2]
Ejemplos de
A continuación se muestran ejemplos del procedimiento.
Integral de coseno
Normalmente, integrales como
puede evaluarse mediante una fórmula de reducción.
, para
n = 1, 2 ... 30
Empiece por configurar:
Ahora vuelva a escribir como:
Integrando por esta sustitución:
Ahora integrando por partes:
resolviendo para I n :
entonces la fórmula de reducción es:
Para complementar el ejemplo, lo anterior se puede utilizar para evaluar la integral para (digamos) n = 5;
Cálculo de índices más bajos:
sustituyendo al revés:
donde C es una constante.
Integral exponencial
Otro ejemplo típico es:
Empiece por configurar:
Integración por sustitución:
Ahora integrando por partes:
desplazando los índices hacia atrás en 1 (entonces n + 1 → n , n → n - 1):
resolviendo para I n :
entonces la fórmula de reducción es:
Una forma alternativa en la que se podría realizar la derivación comienza sustituyendo .
Integración por sustitución:
Ahora integrando por partes:
que da la fórmula de reducción al volver a sustituir:
que es equivalente a:
Funciones racionales
Las siguientes integrales [3] contienen:
- Factores del radical lineal
- Factores lineales y el radical lineal
- Factores cuadráticos
- Factores cuadráticos , por
- Factores cuadráticos , por
- Factores cuadráticos ( irreducibles )
- Radicales de factores cuadráticos irreducibles
Integral | Fórmula de reducción |
---|
| |
| |
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
note that by the laws of indices:
Transcendental functions
The following integrals[4] contain:
- Factors of sine
- Factors of cosine
- Factors of sine and cosine products and quotients
- Products/quotients of exponential factors and powers of x
- Products of exponential and sine/cosine factors
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| the formulae can be combined to obtain separate equations in In: and Jn: |
| |
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
| |
Integral | Reduction formula |
---|
| |
| |
| |
| |